حل مجموعه مسائل هفته ی پنجم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
فرض کنید a عددی حقیقی باشد. ثابت کنید:
سطح B
ثابت کنید که از هر چهار عدد متمایز در بازه ی (0,1) دو عدد x و y چنان وجود دارند که:
سطح C
فرض کنید A ماتریسی مربعی از مرتبه ی n باشد به طوریکه توان سوم آن صفر است. نشان دهید ماتریس زیر وارون پذیر است (I_n ماتریس همانی از مرتبه ی n است):
سطح ِD
مجموع زیر را حساب کنید:
موفق باشید.
30 تیر 1386
با سلام
سطح A
روش اول: از pp8khat برای راه حلشان متشکرم. برای مطالعه ی این روش
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه کنید.
روش دوم: از نیز برای تجزیه ی مناسبشان به عوامل ضرب تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید.
روش سوم: نامساوی مساله را می توان یه این صورت هم نوشت، که به وضوح درست است:
سطح B
روش امیر آقا در پست 69 صحیح است و یکی از بهترین روشها برای حل اینگونه مسائل است. به این روش جایگزینی مثلثاتی گوییم. برای دقیقتر کردن استدلال می توان از اصل لانه ی کبوتری استفاده کرد. برای مطالعه ی روش ایشان
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
کلیک کنید.
سطح C
روش امیر آقا در پست 69 صحیح است. برای مطالعه ی روش ایشان
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
کلیک کنید. (توجه کنید که مقادیر وپژه ناصفر است، لذا ماتریس، وارون پذیر است.)
سطح D
حدس امیر آقا در پست 69 درست است. آن را اثبات می کنیم. مجموع داده شده را (f(n بنامید. با توجه به رابطه ی زیر (قانون اصلی مثلث خیام - پاسکال)
و با کمی محاسبه، رابطه ی زیر را به دست می آوریم:
حال n را به n-1 تبدیل کنید؛ لذا
دو رابطه ی بالا را با یکدیگر جمع کنید؛ بنابر این:
که نتیجه می شود (f(n تناوبی با دوره ی تناوب 6 است. بقیه ی راه حل نیز همان راه حل امیر آقا است.
f(1)=1
f(2)=0
f(3)=-1
f(4)=-1
f(5)=0
با تشکر از ایشان.
موفق باشید.
5 مرداد 1386
مجموعه مسائل هفته ی ششم - سال دوم
با سلام
سطح A
مجموع زیر را حساب کنید:
سطح B
ثابت کنید برای هر عدد طبیعی n عدد زیر عددی اصم است:
سطح C
فرض کنید x عدد حقیقی ناصفر باشد. تساوی زیر را ثابت کنید:
سطح ِD
فرض کنید G گروهی متناهی از ماتریسهای مربعی هم مرتبه تحت عمل ضرب ماتریسها باشد و
فرض کنید:
ثابت کنید:
موفق باشید.
6 مرداد 1386