تاپیک مساله ی هفته -سال دوم - همراه با اسامی برندگان
بسم الله الرحمن الرحیم
به لطف حضرت حق، قسمت مساله ی هفته ی انجمن ریاضیات p30world، که قبلا در تاپیک اتاق ریاضیات ارائه می شد، در اوایل خرداد یکساله شد.این بخش که شامل 52 مساله در سطوح مختلف دبیرستانی و دانشگاهی است، خوشبختانه با استقبال خوب کاربران عزیز مواجه شد و مسئو لیت ما را سنگین تر کرد. (برای دسترسی به فهرست این مسائل به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
) حال جهت رفع ضعفهای دوره ی اول و جلب رضایت بیشتر مخاطبین عزیز، مسائل را در چهار سطح متفاوت به شرح ذیل ارائه می کنیم:
سطح A: اول و دوم دبیرستان (در سطح ریاضی 1 و 2 - هندسه ی 1)
سطح B: سوم دبیرستان (در سطح حسابان - ریاضی 3 - هندسه ی 2 - جبر و احتمال)
سطح C: پیش دانشگاهی (در سطح حساب دیفرانسیل و انتگرال - ریاضیات گسسته - جبر خطی - هندسه ی تحلیلی)
سطح D: دانشگاهی (رشته های ریاضی و فنی و در سطح ریاضیات عمومی - جبر خطی - جبر - آنالیز ریاضی - ریاضیات گسسته - نظریه ی اعداد)
به توضیحات زیر توجه فرمایید:
1) در هر هفته، شنبه ها، چهار مساله در چهار سطح ذکر شده، ارائه می شود و جمعه ها نیز در باره ی جواب سوالات در همین تاپیک با یکدیگر صحبت خواهیم کرد.
2) هدف سوال، بیشتر زیبایی روشهای حل آن و نیز ارزش آموزشی آن است، نه سختی و آسانی سوال. بنابر این ممکن است سوالات بسیار ساده ای نیز در کنار مسائل مبارزه طلب ارائه شود.
3) اگر برای مساله ی حل شده راه حل دیگری - هر چند به ظاهر طولانی تر - دارید، لطفاً آنرا در این تاپیک ارائه فرمایید تا با راه حلهای مختلف حل آن آشنا شویم.
4) اگر راه حل دیگران را اشتباه یا ناقص می دانید، حتماً در اینجا تذکر دهید.
5) به کاربران فعال در این بخش در آخر دوره دوم (تیر ماه 87) جوایز نفیسی اهدا خواهد شد؛ ضمناً به عنوان کاربر فعال انجمن ریاضیات p30world، نیز شناخته می شوند و از آنها در برنامه ریزیهای علمی این انجمن استفاده خواهیم کرد.
6) برای اینکه روند فعالیتهای دوستان در طول سال مشخص تر شود، در همین جا اسامی کاربرانی که در حل مسائل به طور مناسب شرکت کرده اند، همراه با تعداد بحثهایشان، آورده می شود.
امیدواریم با این طرح جدید کاربران بیشتری در حل مسائل شرکت کنند.
تذکر مهم:
پستهایی که مربوط به حل مسائل این بخش نباشند، حذف خواهند شد.
موفق باشید.
2 تیرماه 1386
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
===========================
مجموعه مسائل این هفته
برای دیدن سوالات جدید هفته، لطفاً به یکی دو صفحه ی آخر مراجعه فرمایید.
با تشکر
===========================
فهرست مجموعه مسائل هفته - سال دوم
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: یک اتحاد
سطح B: یک رابطه ی مثلثاتی
سطح C: وجود یک ریشه بین صفر و یک
سطح D: محاسبه یک حد
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: محاسبه ی یک عبارت عددی (تصاعد حسابی)
سطح B: محاسبه ی یک حد (جزء صحیح)
سطح C: محاسبه ی یک انتگرال
سطح D: اثبات یک نامساوی (عدد نپر)
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: یک رابطه ی مثلثاتی در یک مثلث
سطح B:هندسه ی دایره ها
سطح C: ریاضی گسسته (محاسبه ی تعداد جوابهای طبیعی یک معادله خطی )
سطح D: محاسبه ی حد یک دنباله
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: حل یک معادله
سطح B: ارتباط ریشه ها در یک معادله ی درجه ی 4
سطح C: نظریه ی اعداد
سطح D: محاسبه ی مقدار یک سری
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: یک نامساوی
سطح B: یک نامساوی
سطح C: جبر ماتریسها
سطح D: محاسبه ی یک مجموع ترکیبیاتی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: محاسبه ی یک مجموع رادیکالی
سطح B: اصم بودن یک عدد
سطح C:حاصل ضرب یک عبارت مثلثاتی
سطح D: گروهی متناهی از ماتریسهای مربعی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: مختصات قرینه ی یک نقطه نسبت به یک خط
سطح B: رسم یک مثلث با معلوم بودن چند ویژگی از آن
سطح C: هندسه ی فضایی
سطح D: معادله ی دیوفانتی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: دستگاه چهار معادله چهار مجهول
سطح B: برد یک تابع
سطح C: مجموع یک سری
سطح D: یک n ضلعی منتظم و نقطه ای درون آن
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: مساله ای برای تقویت هوش
سطح B: احتمال
سطح C: جبر ماتریسها
سطح D: جبر ماتریسها
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: ساده کردن یک عبارت مثلثاتی
سطح B: محاسبه ی یک عبارت مثلثاتی
سطح C:نظریه ی اعداد
سطح D: نامساوی مثلثاتی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: تجزیه ی یک چند جمله ای
سطح B: حل یک دستگاه
سطح C: تجزیه ی یک عبارت
سطح D: معادله ی تابعی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: هندسه ی مثلث قائم الزاویه
سطح B: حد یک عبارت کسری
سطح C: محاسبه ی یک انتگرال معین
سطح D: یک نامساوی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: چند تساوی عددی و حدس فرمول کلی آن
سطح B: یک معدله ی تابعی
سطح C: یک تابع مثلثاتی که دقیقاً دو بار محور طولها را قطع می کند.
سطح D: تابعی که مشتق اول و دوم آن موجود است و مشتق اول آن روی مرزها ی یک بازه صفر است.
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: شرطی برای برقراری یک تساوی
سطح B: هندسه ی دایره ها
سطح C: ترکیبیات
سطح D: نظریه ی گروهها
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: هندسه ی مثلثها
سطح B: اصل لانه ی کبوتری
سطح C: هندسه ی فضایی
سطح D: نظریه ی حلقه های متناهی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: مثلثات
سطح B: حد دو تابع
سطح C: یک مساله فیزیک - ریاضی
سطح D: دترمینان واندرموند
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: یک معادله ی کسری
سطح B: هندسه مسطحه
سطح C: رنگ آمیزی یالهای یک گراف
سطح D: خاصیتی برای یک گراف ساده ی تسطیح پذیر
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: هندسه ی مثلثها
سطح B: خاصیت جالبی برای تابع جزء صحیح
سطح C: خطوط روی تابع z=xy
سطح D: نظریه ی اعداد
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: یک نامساوی
سطح B: خاصیت جالبی برای بعضی از توابع درجه ی 3
سطح C: محاسبه ی یک انتگرال
سطح D: محاسبه ی یک حد
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: یک سوال هوش
سطح B: رسم یک مثلث و یک دایره با خاصیتی ویژه
سطح C: نظریه ی اعداد
سطح D: یک نامساوی
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: هندسه مسطحه
سطح B: احتمالات
سطح C: جبر ماتریسها
سطح D: خاصیتی برای یک تابع پیوسته و مشتق پذیر
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
سطح A: حل یک معادله
سطح B: برد یک تابع
سطح C: حد یک دنباله ی بازگشتی
سطح D: نظریه ی گروهها
مجموعه مسائل هفته ی اول - سال دوم
با سلام
سطح A
فرض کنید b، a و c سه عدد حقیقی متمایز باشند. تساوی زیر را ثابت کنید، بدون اینکه عبارت سمت راست آنرا را به توان 2 برسانید:
سطح B
عبارت زیر را ثابت کنید:
سطح C
فرض کنید b، a و c سه عدد حقیقی باشند . ثابت کنید معادله ی زیر حداقل یک ریشه بین صفر و یک دارد:
سطح ِD
فرض کنید تابع f در a مشتق پذیر باشد. حد زیر را به دست آورید:
موفق باشید.
2 تیر 1386
حل مجموعه مسائل هفته ی اول - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
فرض کنید b، a و c سه عدد حقیقی متمایز باشند. تساوی زیر را ثابت کنید، بدون اینکه عبارت سمت راست آنرا را به توان 2 برسانید:
سطح B
عبارت زیر را ثابت کنید:
سطح C
فرض کنید b، a و c سه عدد حقیقی باشند . ثابت کنید معادله ی زیر حداقل یک ریشه بین صفر و یک دارد:
سطح ِD
فرض کنید تابع f در a مشتق پذیر باشد. حد زیر را به دست آورید:
موفق باشید.
2 تیر 1386
با سلام
از دوستانی که خیلی خوب در حل مسائل شرکت کردند، تشکر می کنم.
سطح A
روش امیر آقا که در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
ارائه کردند، کاملاً درست است؛ هر چند می توان این روش را فشرده و خلاصه تر هم کرد. از ایشان تشکر می کنم.
سطح B
روش امیر آقا صحیح است. فقط در سطر پنجم در راه حل ایشان به جای (sin(3/2 باید نوشت (sin(3x/2. برای دیدن راه حل ایشان به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید.
سطح C
روش آقا احسان هم درست و زیباست. هر چند با استفاده از قضیه رول و با تعریف تابعی مشابه نیز می توان مساله را حل کرد. برای دیدن راه حل ایشان به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید. با تشکر از ایشان.
سطح D
راه حل امیر آقا تقریباً درست است. توجه کنید که چون f در a پیوسته و ناصفر است، (f(a و (f(a+1/n برای n های به اندازه کافی بزرگ، هم علامت هستند و لذا کسر اصلی مساله، مثبت است و می توان از لگاریتم استفاده کرد. بنابراین بهتر است کسر اصلی را P بنامیم و از طرفین لگاریتم بگیریم و سپس از حد و قاعده ی هوپیتال استفاده کنیم. برای دیدن راه حل ایشان به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید. باز هم از ایشان تشکر می کنم.
توضیح:
برای اینکه روند فعالیتهای دوستان در طول سال مشخص تر شود، در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
اسامی کاربرانی که در حل مسائل به طور مناسب شرکت کرده اند، همراه با تعداد بحثهایشان، آورده می شود.
موفق باشید.
8 تیر 1386
مجموعه مسائل هفته ی دوم - سال دوم
با سلام
سطح A
حاصل عبارت زیر را بدون استفاده از ماشین حساب، به طور دقیق به دست آورید:
سطح B
فرض کنید x عددی ثابت و بزرگتر از 1 باشد. حد زیر را محاسبه کنید (منظور از [x] جزء صحیح x است):
سطح C
فرض کنید n عددی طبیعی باشد. انتگرال معین زیر را محاسبه کنید (منظور از [x] جزء صحیح x است):
سطح ِD
ثابت کنید برای هر عدد طبیعی n داریم:
موفق باشید.
9 تیر 1386
حل مجموعه مسائل هفته ی دوم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
حاصل عبارت زیر را بدون استفاده از ماشین حساب، به طور دقیق به دست آورید:
سطح B
فرض کنید x عددی ثابت و بزرگتر از 1 باشد. حد زیر را محاسبه کنید (منظور از [x] جزء صحیح x است):
سطح C
فرض کنید n عددی طبیعی باشد. انتگرال معین زیر را محاسبه کنید (منظور از [x] جزء صحیح x است):
سطح ِD
ثابت کنید برای هر عدد طبیعی n داریم:
موفق باشید.
9 تیر 1386
با سلام
سطح A
روش امیر آقا که در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
ارائه کردند، کاملاً درست است؛ از دوستان دیگری که در حل این مساله همکاری کردند تشکر می کنم. نام این دوستان در لیست سبز (!!) این تاپیک ثبت خواهد شد.
سطح B
روش امیر آقا صحیح است. به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید. ایشان مساله را در حالت کلیتر حل کردند. از ایشان تشکر می کنم. (این مساله یکی از تستهای کنکور کارشناسی ارشد ریاضی بود!!)
سطح C
روش امیر آقا درست است. به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید.
سطح D
راه حل امیر آقا صحیح است. برای دیدن راه حل ایشان به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید. باز هم از ایشان تشکر می کنم.
بنده مساله را به روش دیگری حل می کنم.
با توجه به شکلهای دوتابع (Ln(x و (Ln(x-1 و افراز بندی بازه ی [3,2n+1] به زیر بازه های مساوی با طول 2، داریم:
پس از انتگرال گیری و ساده سازی و با استفاده از خاصیت صعودی اکید بودن تابع (exp(x به نامساویهای مطلوب مساله خواهیم رسید. (این مساله در مسابقه ی هفته ی یکی از دانشگاههای معتبر آمریکا مطرح شده بود.)
موفق باشید.
16 تیر 1386
مجموعه مسائل هفته ی سوم- سال دوم
با سلام
سطح A
در مثلث ABC رابطه ی زیر برقرار است. سه زاویه A، B و C چند درجه هستند؟
سطح B
فرض کنید M مرکز یک دایره و A و B دو نقطه روی دایره باشند که دو سر قطری از آن نیستند. مماسهایی که در A و B بر دایره رسم می شوند یکدیگر را در C قطع می کنند. فرض کنید CM دایره را در D قطع کند و مماس بر دایره در نقطه ی AC ،D و BC را به ترتیب در E وF قطع کند. ثابت کنید مساحت چهارضلعی ADBM میانگین هندسی مساحت مثلث ABM و مساحت چهارضلعی ACBM است.
=================================
سطح C
تعداد سه تایی های مرتب (x,y,z) را که x، y و z اعداد طبیعی هستند و در رابطه ی x+y+z=17 صدق می کنند، به دست آورید. اگر این سه عدد دو به دو متمایز باشند، تعداد این سه تایی های مرتب چقدر است؟
=================================
سطح ِD
فرض کنید
حد زیر را محاسبه کنید:
موفق باشید.
16 تیر 1386