حل مجموعه مسائل هفته ی سوم - سال دوم
نقل قول:
با سلام
سطح A
در مثلث ABC رابطه ی زیر برقرار است. سه زاویه A، B و C چند درجه هستند؟
سطح B
فرض کنید M مرکز یک دایره و A و B دو نقطه روی دایره باشند که دو سر قطری از آن نیستند. مماسهایی که در A و B بر دایره رسم می شوند یکدیگر را در C قطع می کنند. فرض کنید CM دایره را در D قطع کند و مماس بر دایره در نقطه ی AC ،D و BC را به ترتیب در E وF قطع کند. ثابت کنید مساحت چهارضلعی ADBM میانگین هندسی مساحت مثلث ABM و مساحت چهارضلعی ACBM است.
=================================
سطح C
تعداد سه تایی های مرتب (x,y,z) را که x، y و z اعداد طبیعی هستند و در رابطه ی x+y+z=17 صدق می کنند، به دست آورید. اگر این سه عدد دو به دو متمایز باشند، تعداد این سه تایی های مرتب چقدر است؟
=================================
سطح ِD
فرض کنید
حد زیر را محاسبه کنید:
موفق باشید.
16 تیر 1386
با سلام
سطح A
از امیر آقا و پاکر که روشهای خود را درباره ی این مساله ارائه کردند، ممنونم. (روش امیر آقا در پست 40 خارج از محدوده ی سطح A است.) حال روش درست را خدمتتان تقدیم می کنم:
(برای دیدن یک سوال و جواب در این رابطه
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
کنید)
سطح B
روش امیر آقا صحیح و زیباست. برای مطالعه ی آن به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید. با تشکر از ایشان. (برای دیدن یک سوال و جواب در این رابطه
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
کنید)
(
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
نیز در همین رابطه مراجعه کنید)
سطح C
راه حل امیر آقا در پست 39 صحیح، اما کمی طولانی است. در حل این مسائل معمولا از قضیه ی بسیار معروف زیر استفاده می شود:
قضیه: فرض کنید r عددی طبیعی باشد. تعداد جوابهای صحیح نامنفی معادله ی
برابر است با
با استفاده از این قضیه، فرمولی که آقا پاکر در
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
متذکر شدند، اثبات می شود. حال به حل مساله می پردازیم. می توان نوشت: y=1+b، x=1+a و z=1+c که b، a و c اعداد صحیح نامنفی هستند. بنابر این به معادله ی جدید a+b+c=14 می رسیم. حال با استفاده از قضیه ی بالا به جواب اصلی 120 خواهیم رسید.
برای حل قسمت دوم کافیست تعداد سه تایی های مرتبی که حداقل دارای دو مولفه ی مساوی است به دست آوریم. به راحتی می توان دید که معادله ی 2x+y=17 برای y تنها دارای 8 جواب مختلف است. بنابر این تعداد سه تایی های مرتبی که حداقل دارای دو مولفه ی مساوی است برابر است با 8*3=24. بنابر این جواب قسمت دوم نیز 24-120=96 است.
سطح D
راه حل آقای منبتی بسیار زیبا ست. برای دیدن راه حل ایشان به
[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]
مراجعه فرمایید. باز هم از ایشان تشکر می کنم.
موفق باشید.
23 تیر 1386
مسائل هفته ی چهارم - سال دوم
با سلام
سطح A
معادله ی زیر را حل کنید:
سطح B
m را چنان بیابید که معادله ی زیر چهار ریشه پیدا کند که در یک تصاعد حسابی صدق می کنند.
سطح C
رقم سمت راست عدد زیر را پیدا کنید:
سطح ِD
مقدار سری زیر را بیابید:
موفق باشید.
23 تیر 1386