چندتا سوال امارو احتمالاتی دارم!

[barandeh]

دوستان سلام واقعیتش من رشتم تجربی هست اصلا هم از ریاضیات خوشم نمیاد ولی بدبختانه این ترم امارو احتمال دارم موندم توش مث چی...!!!
دوستان ریاضی دان میتوین لطف کنین یه سری از سوالاتی که توشون موندم رو جواب بدین و اگه توضیح و استدلال هم بکنین که چطوری میشه اینارو حل کرد که دیگه شرمندم کردین.
خب من تو هر پست یه سوال میذارم بعد که حل شد سوال بعدی رو ...

سوال اول:
10 تا tv داریم که 3 تاشون نقص فنی دارن به چند طریق میشه 4 tv برداشت که حداقل 2 تاشون نقص فنی داشته باشن؟

[davy jones]

دوستان سلام واقعیتش من رشتم تجربی هست اصلا هم از ریاضیات خوشم نمیاد ولی بدبختانه این ترم امارو احتمال دارم موندم توش مث چی...!!!
دوستان ریاضی دان میتوین لطف کنین یه سری از سوالاتی که توشون موندم رو جواب بدین و اگه توضیح و استدلال هم بکنین که چطوری میشه اینارو حل کرد که دیگه شرمندم کردین.
خب من تو هر پست یه سوال میذارم بعد که حل شد سوال بعدی رو ...

سوال اول:
10 تا tv داریم که 3 تاشون نقص فنی دارن به چند طریق میشه 4 tv برداشت که حداقل 2 تاشون نقص فنی داشته باشن؟

سلام.

ترکیبیات و آنالیز ترکیبی یکی از شیرین ترین مباحث ریاضیاته ولی به شدن احتیاج به تمرین و ممارست داره و خیلی زود از ذهن آدم فرار میکنه. برای همینه که به نظرم خیلی ها باهاش مشکل دارن. وگرنه آنچنان هم سخت نیست.

این سوال رو با توضیحات کامل براتون حل میکنم تا آشنایی مقدماتی و نسبی براتون حاصل بشه تا از سوالات هر کس دیگه ای هم که اومد جواب بده شما با روش حل غریبی نکنید!

اول میایم تلویزیون های دارای نقص فنی رو انتخاب میکنیم. برای انتخاب اولین تلویزیون 3 حالت داریم. برای دومیش هم 2 انتخاب داریم. پس در کل میشه 3*2=6 حالت. منتها .... باید دقت داشته باشین که در حقیقت ترتیب انتخاب در اینجا مهم نیست و مثلا اگه تلویزیون خراب شماره ی 1 و شماره 3 انتخاب ما باشند تفاوتی با حالتی که تلویزیون شماره ی 3 و شماره ی 1 انتخاب بشن نداره و در حقیقت ما همه ی حالات رو تا اینجا دوبار شمردیم. پس تعداد حالات واقعی برای انتخاب تلویزیون های دارای نقص فنی 3 حالته. این دقیقا همون تعریف ترکیب دو عدد هستش. ترکیب یعنی تعداد حالات انتخاب k شیئ از n شیئ یکسان که ترتیب انتخاب شدن اونها مهم نیست:

که در اینجا n=3 و k=2 هستش:

در مورد انتخاب تلویزیون های سالم هم همین شرایط برقراره. دیگه عینا همون توضیحات بالا رو تکرار نمیکنم و فقط اشاره میکنم که از بین 7 تا تلویزیون مشابه به هم، میخوایم 2 تاشون رو انتخاب کنیم. تعداد حالاتی که بشه این کار رو کرد پس میشه:

نکته ی بسیار مهم: چون به هر حالتی که تلویزیون های ناقص رو انتخاب کنیم تاثیری بر روی تعداد حالات تلویزیونهای سالم نداره و از هم مستقلند، پس جواب کلی مساله حاصلضرب دو مقدار به دست اومده در هر مرحله است:

امیدوارم توضیحاتم کامل بوده باشه. همچنین از شما توقع میره که اگه سوالات بعدیتون رو با این توضیحاتی که گفته شد، خودتون میتونین حل کنین، برای تمرین بیشتر از قرار دادن اونها در اینجا خودداری کنین و یا اگه سوال رو اینجا میذارین همراه با حلش باشه تا سایر کاربران در آینده از آنها به عنوان نمونه سوال حل شده استفاده ببرند.



موفق باشین.
90/10/13

[barandeh]

اااااااااای خدا خیرت بده
18 همین ماه امتحان ترم دارم هیچی هم بلد نیستم ولی الان با توضیحات شما فک کنم این یکی رو تا حدودی متوجه شده باشم.
چشم سعی میکنم رعایت کنم مسئله تکراری نذارم این مربوط به ترکیب بود که با توضیحات شما درکش اسون تر شد
حالا مبحث بعدی:
سکه ای که شانس مشاهده شیر در آن 2 برابر خط است را انقدر پرتاب میکنیم تا یک خط مشاهده شود سپس توفق مینماییم اگر متغیر x برابر تعداد پرتاب های لازم تا رسیدن به یک خط باشد احتمال اینکه حداقل 4 پرتاب لازم باشد چقدر است؟

[barandeh]

سوال بعدی رو هم میذارم که احتمالا به تعداد بیشتری از سوالات جواب داده بشه سعی میکنم تو هر پست یک سوال بذارم که دوستان خواستن جواب بدن فقط بگن پاسخ فلان پست .راحتتر بشه....
سوال:
یک مدار شامل 3 فیوز است و به گونه ای طراحی شده که اگر حداقل 2 فیوز سالم باشد انگاه مدار متصل است در غیر اینصورت مدار قطع میگردد. اگر این سه فیوز بطور مستقل عمل کنند و احتمال سالم ماندن آنها بترتیب یک دوم - دو سوم و سه چهارم باشداحتمال اینکه مدار متصل باشد را بیابید.

[davy jones]

حالا مبحث بعدی:
سکه ای که شانس مشاهده شیر در آن 2 برابر خط است را انقدر پرتاب میکنیم تا یک خط مشاهده شود سپس توفق مینماییم اگر متغیر x برابر تعداد پرتاب های لازم تا رسیدن به یک خط باشد احتمال اینکه حداقل 4 پرتاب لازم باشد چقدر است؟

سلام.

احتمال اومدن شیر و احتمال اومدن خط هستش.
از متمم احتمال استفاده میکنیم. حداقل 4 پرتاب یعنی در 4 امین پرتاب اولین خط ظاهر بشه یا در 5 امین پرتاب، یا ششمین و ... همینجور تا بینهایت. که متمم این حالت میشه یک منهای احتمال اینکه در یکی از 3 پرتاب اول اولین خط ظاهر شود. برای محاسبه ی احتمال اینکه در یکی از 3 پرتاب اول اولین خط ظاهر شود هم داریم:

در اولین پرتاب خط بیاد:
در دومین پرتاب خط بیاد: یعنی در اولی حتما شیر بیاد و دومین پرتاب حتما خط باشه:

در سومین پرتاب خط بیاد: یعنی 2 تای اول شیر بیاد و سومی حتما خط باشه:



حالا جواب کلی مساله میشه یک منهای مجموع اون 3 تا.


موفق باشین.
90/10/14

[davy jones]

سوال بعدی رو هم میذارم که احتمالا به تعداد بیشتری از سوالات جواب داده بشه سعی میکنم تو هر پست یک سوال بذارم که دوستان خواستن جواب بدن فقط بگن پاسخ فلان پست .راحتتر بشه....
سوال:
یک مدار شامل 3 فیوز است و به گونه ای طراحی شده که اگر حداقل 2 فیوز سالم باشد انگاه مدار متصل است در غیر اینصورت مدار قطع میگردد. اگر این سه فیوز بطور مستقل عمل کنند و احتمال سالم ماندن آنها بترتیب یک دوم - دو سوم و سه چهارم باشداحتمال اینکه مدار متصل باشد را بیابید.

پاسخ این سوال هم تا حدودی مشابه سوال اولتون هست. به چند حالت میشه 2 فیوز رو از بین 3 فیوز بدون در نظر گرفتن ترتیب انتخاب کردن، انتخاب کرد؟ میشه 3 حالت (فیوز شماره ی 1 و شماره ی 2 - فیوز شماره ی 2 و شماره ی 3 - فیوز شماره ی 1 و شماره ی 3) احتمال هرکدوم از این سه حالت بنا به استقلال عملکرد فیوزها از هم که در صورت سوال قید شده در هر مرحله تو هم ضرب میشه و سپس حاصل ضریهای این 3 قسمت رو باید با هم جمع کنید (چرا؟) ----> پاسخ: چون وصل ماندن یا قطع شدن کل مدار مستقل از اینکه کدام جفت از این فیوزها انتخاب بشود نیست و بدان وابسته است.البته باید حالتی که هر 3 فیوز سالم بماند را نیز به مجموع حساب شده در قسمت قبل اضافه کنید.

جزئیات حل رو به عهده ی خودتون میذارم.


موفق باشین.
90/10/14

[barandeh]

خدایی خیلی کارت درسته من هی فک میکنم دیگه فهمیدم بعد که میرم سراغ مسئله بعدی بازم توش می مونم!
3 -4 تا مسئله دیگه هم مونده!
مسئله 4:
به چند طریق می توان 7 نفر را با سه وسیله نقلیه که بترتیب گنجایش 2 , 2 و 3 نفر را دارنداز محلی به محل دیگر منتقل کرد؟

[barandeh]

مسئله 5:

4 زوج برای یک تئاتر 8 بلیط در یک ردیف دارند مطلوب است محاسبه احتمال اینکه :
الف) هر زوج کنار هم باشند
ب) تمام مرد ها کنار هم و در سمت راست زنها باشند

[davy jones]

خدایی خیلی کارت درسته من هی فک میکنم دیگه فهمیدم بعد که میرم سراغ مسئله بعدی بازم توش می مونم!
3 -4 تا مسئله دیگه هم مونده!
مسئله 4:
به چند طریق می توان 7 نفر را با سه وسیله نقلیه که بترتیب گنجایش 2 , 2 و 3 نفر را دارنداز محلی به محل دیگر منتقل کرد؟

سلام
اين مساله مشابه سوال اول هستش و هيچ چيزى به جز استفاده از مفهوم ترکيب و انتخاب بدون مهم بودن ترتيب انتخاب نيست. ۲ نفر از ۷ نفر رو براى ماشين اول انتخاب مى کنيم و سپس ۲ نفر ديگه از ۵ تاى باقيمونده براى ماشين دوم و ۳ نفر از۳ نفر باقيمونده براى ماشين سوم
. چون اين سوال به شدت ساده است براى اينکه مطمئن بشم طرىقه ى حلى رو که در توضيحات سوال يک مفصلا در موردش بحث کردم کاملا متوجه شدىن، حل اين سوال رو به عهده ى خودتون ميذارم. لطفا بعد از اينکه سوال رو حل کردين جوابش رو تو همين تاپيک قرار بدين.

موفق باشين و اگه فونت کلمات زياد خوانا نيست به بزرگواري خودتون ببخشين چون دارم با موبايل کانکت ميشم و جواب پستتون رو ميدم.

[davy jones]

مسئله 5:

4 زوج برای یک تئاتر 8 بلیط در یک ردیف دارند مطلوب است محاسبه احتمال اینکه :
الف) هر زوج کنار هم باشند
ب) تمام مرد ها کنار هم و در سمت راست زنها باشند

و اما در مورد این سوال هم یه روش و تکنیک معروف و کلّی رو توضیح میدم که خودم اسمش رو برای راحتی و ماندگاری در ذهن گذاشتم روش توی گونی کردن!!! حالا وقتی توضیح بدم متوجه میشین.

اصولا برای مسائلی که در اون یک چینش از n تا چیز متفاوت یا یکسان یا ترکیبی از متفاوت و یکسان رو میخواد به طوری که r تا از اونها قراره حتما کنار هم باشند از این روش استفاده میکنیم. دقت کنید که این تکنیک هنگامی که قرار باشه تعدادی از افراد یا اشیاء مورد نظر کنار هم قرار نگیرند و از هم فاصله داشته باشند کاربرد نداره و فقط برای قرار داشتن کنار هم استفاده میشه.

مثلا در قسمت الف) قراره که تعداد حالات چینش 8 نفر در یک صف رو بشماریم به طوری که هر زوج کنار هم باشن. پس میایم و هر زوج رو توی یه گونی میندازیم تا همیشه کنار هم باقی بمونن! () حالا 4 تا گونی داریم که میخوایم اونها رو در یک صف کنار هم بچینیم و هیچ محدودیت و شرطی هم دیگه در کار نیست. تنها شرط همون کنار هم بودن زوج ها بود که با گونی حل شد. تعداد حالات جایگشت 4 نفر در یک صف بدون هیچ محدودیت هم برابر با !4 (چهار فاکتوریل) هستش. اما باید دقت کنید که هر گونی هم به !2 زوج های توش قابلیت جایگشت در درون گونی رو دارند. پس تعداد کل حالات در قسمت الف) با توجه به استقلال موجود بین جایگشت گونی ها و جایگشت داخل هر گونی که نتیجه اش اینه که تعداد حالات در هر قسمت رو باید در هم ضرب کرد میشه:

در قسمت ب) هم میایم و تمام مردها رو توی یه گونی میکنیم و تمام زنها رو هم توی یه گونی! حالا 2 تا گونی داریم که چون قراره گونی حاوی مردها همیشه سمت راست گونی حاوی زنها باشه پس نمیتونیم گونی ها رو آزادانه مث قسما الف) جایگشت بدیم و فقط به یک حالت میشه گونی مردها رو سمت راست گونی زنها قرار داد اما جایگشت داخل هر گونی میشه 4 فاکتوریل.
حالا با این توضیحات جواب آخر قسمت ب) رو خودتون بگین چند میشه؟


موفق باشین.
90/10/15