تاپیک مساله ی هفته -سال دوم - همراه با اسامی برندگان

[mir@]

سطح A

نامساوی زیر را برای هر عدد حقیقی a و b اثبات کنید:

اگر همه را به سمت چپ بياوريم :

يا به صورت معادل

;ه بديهي است همواره درست است.

[mm-gh]

فکر می کنم منظور amir@ نامساوی زیر باشه که همیشه درسته و میشه از اون به جواب مسئله رسید:



امیدوارم بتونم بعدها فرمول ها رو بهتر قرار بدم

[mofidy1]

با سلام

سطح A

نامساوی زیر را برای هر عدد حقیقی a و b اثبات کنید:

=================================

سطح B

فرض کنید P نقطه ای روی نمودار f(x)=ax^3+bx باشد. اگر مماسی از نقطه ی P بر نمودار تابع رسم کنیم تا بار دیگر نمودار را در نقطه ی Q قطع کند، ثابت کنید طول نقطه ی Q برابر است با 2c- که c طول نقطه ی P است.

=================================

سطح C

انتگرال زیر را محاسبه کنید:

=================================

سطح ِD

حد زیر را محاسبه کنید:

موفق باشید.

4 آذر 1386

با سلام

سطح A

از آقا امیر و mm-gh (عضو جدید p30world) که حل مساله را ارسال کردند متشکرم. البته روش آقا امیر کمی نیاز به اصلاح دارد اما روش mm-gh در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] کاملاً درست است. فکر می کنم روش زیر ساده تر باشد:

همه ی جملات را به سمت راست بیاورید و عبارت به دست آمده را بر حسب b مرتب کنید. خواهیم داشت:

حال با تشکیل دلتای این عبارت به دست می آوریم:

که همواره منفی و لذا علامت عبارت، موافق ضریب b^2 است که حل مساله را کامل می کند.

سطح B

از sherlockholmz که در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مساله را حل کردند متشکرم.

سطح C

از miladweb عضو جدید p30world که حل مساله را در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ارسال کردند تشکر می کنم. راه حل دیگری را که معمولا در کتب قدیمی ریاضی (مانند کتب استاد شهریاری) یافت می شود، توضیح می دهم:

دقت کنید که (tan^8(x برابر است با:

با توجه به مشتق تابع تانژانت، جواب انتگرال بلافاصله به دست می آید که عبارت است از:

سطح D

از sherlockholmz که در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] این مساله را هم حل کردند ممنون و سپا سگزارم. امیدوارم همکاریشان را با این تاپیک همچنان ادامه دهند (هر چند که احتمالا از دست ما به علت جواب ندادن به سوالشان دلخورند. البته به این سوال قبلاً جواب داده شده بود. در هر صورت به بزرگواری خودتان ببخشید.)

موفق باشید.

11 آذر 1386

[mofidy1]

با سلام

سطح A

در صفحه ی شطرنج، چند مربع وجود دارد؟!

=================================

سطح B

فرض کنید A و B و C سه نقطه در صفحه باشند که در یک راستا نیستند.

الف) مثلثی رسم کنید که این سه نقطه، وسط اضلاعش باشند.

ب) دایره ای به مرکز C چنان رسم کنید که مماسهای رسم شده از A و B بر این دایره با هم موازی باشند.

=================================

سطح C

آیا یک عدد طبیعی که توانی از عدد 2 است وجود دارد که با جابجایی ارقام آن، توان دیگری از 2 حاصل شود؟!

=================================

سطح ِD

فرض کنید a و b دو عدد حقیقی مثبت باشند که a+b=1. ثابت کنید:

موفق باشید.

11 آذر 1386

[pp8khat]

با سلام

سطح A

در صفحه ی شطرنج، چند مربع وجود دارد؟!
موفق باشید.
11 آذر 1386

بابت خط بدم و کیفیت پایین تصویر معذرت می خوام[باید کنتراستشو دستکاری می کردم تا خوانا می شد]
حل:204 مربع

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

[mir@]

سطح B

فرض کنید A و B و C سه نقطه در صفحه باشند که در یک راستا نیستند.

الف) مثلثی رسم کنید که این سه نقطه، وسط اضلاعش باشند.

ب) دایره ای به مرکز C چنان رسم کنید که مماسهای رسم شده از A و B بر این دایره با هم موازی باشند.

الف) مثلث ABC را رسم مي‌كنيم. از رئوس اين مثلث، سه خط موازي با اضلاع متناظرشان از ABC رسم مي‌كنيم. مثلث خواسته شده از برخورد سه خط اخير حاصل مي‌شود.

ب) مثلث ABC را رسم كرده و ميانه وارد بر AB از C را رسم مي‌كنيم. از رئوس A و B دو خط به موازات ميانه رسم مي‌كنيم. فاصله اين دو خط موازي قطر دايره است.

[mir@]

سطح ِD

فرض کنید a و b دو عدد حقیقی مثبت باشند که a+b=1. ثابت کنید:

نامساوي‌هاي معروف هندسي-حسابي-درجه 2 را به صورت زير داريم:

در اين مسئله با فرض

با توجه به نامساوي درجه 2 و حسابي داريم.

(*)

اما با توجه به نامساوي حسابي-هندسي خواهيم داشت:

بنابراين

بنابراين در طرف راست نامساوي (*)

لذا در نامساوي ستاره

و نهايتاً حكم مسئله ثابت مي‌شود.

[mofidy1]

با سلام

سطح A

در صفحه ی شطرنج، چند مربع وجود دارد؟!

=================================

سطح B

فرض کنید A و B و C سه نقطه در صفحه باشند که در یک راستا نیستند.

الف) مثلثی رسم کنید که این سه نقطه، وسط اضلاعش باشند.

ب) دایره ای به مرکز C چنان رسم کنید که مماسهای رسم شده از A و B بر این دایره با هم موازی باشند.

=================================

سطح C

آیا یک عدد طبیعی که توانی از عدد 2 است وجود دارد که با جابجایی ارقام آن، توان دیگری از 2 حاصل شود؟!

=================================

سطح ِD

فرض کنید a و b دو عدد حقیقی مثبت باشند که a+b=1. ثابت کنید:

موفق باشید.

11 آذر 1386

با سلام

سطح A

از pp8khat که در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] حل مساله را ارسال کردند تشکر می کنم.

در یک مربع 2 در 2 ، پنج مربع وجود دارد: 1+4
در یک مربع 3 در 3 چهارده مربع وجود دارد: 1+4+9=14
در یک مربع 4 در 4 سی مربع وجود دارد: 1+4+9+16=30
.................................................. ...............
.................................................. ...............
و دریک مربع 8 در 8 دویست و چهار مربع وجود دارد: 1+4+9+16+25+36+49+64=204

سطح B

از آقا امیر بابت حل این سوال متشکرم. برای دیدن راه حل ایشان به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید.

سطح C

چنین عددی وجود ندارد، در غیر این صورت، فرض کنید a=2^m و b=2^n به طوری که رقمهای آنها برابر باشند. می توان فرض کرد m<n. حال چون b/a<10 پس

و لذا n-m یکی از اعداد 1 یا 2 یا 3 است. اما a و b به پیمانه ی 9 همنهشت هستند؛ پس باید

که با نتیجه ای که برای n-m به دست آوردیم تناقض دارد.

سطح D

از آقا امیر برای راه حل خوبشان در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] ، ممنونم.

موفق باشید.

18 آذر 1386

[mofidy1]

با سلام

سطح A

درمربع زیر، وسط اضلاع را به ضلع مقابل وصل کرده ایم. ثابت کنید مساحت چهارضلعی وسط، یک پنجم مساحت مربع است:

=================================

سطح B

در یک مرسم قرعه کشی، درون کیسه ای 52 مهره که شماره های 1 تا 52 روی آنها نوشته اند، ریخته شده است و هر نفر سه مهره بیرون می آورد. اگر شماره ی هیچ یک از این سه مهره بالاتر از 40 نباشد، شخص مورد نظر برنده است. آیا حاضرید در این قرعه کشی شرکت کنید؟!

=================================

سطح C

فرض کنید p و q اعداد حقیقی باشند به گونه ای که سه جمله ای x^2+px+q دارای ریشه نباشد. ثابت کنید اگر n عددی طبیعی و فرد باشد، برای هر ماتریس مربعی X از مرتبه ی n، ماتریس X^2+pX+qI_n مخالف صفر است. (I_n ماتریس واحد مرتبه ی n است.)

=================================

سطح ِD

فرض کنید f تابعی مثبت باشد که روی [a,b] پیوسته و روی (a,b) مشتق پذیر باشد. ثابت کنید در (a,b) عددی مانند c وجود دارد به طوری که

موفق باشید.

18 آذر 1386

[sherlockholmz]

سطح A

درمربع زیر، وسط اضلاع را به ضلع مقابل وصل کرده ایم. ثابت کنید مساحت چهارضلعی وسط، یک پنجم مساحت مربع است:

=================================

شكل زير را در نظر مي گيريم(ببخشيد كه شكل كمي تصادفي است!):




حال مراحل زير را دنبال مي كنيم. در واقع نخست ثابت مي كنيم كه EFGH نيز مربع است و سپس با بدست آوردن طول ضلع آن ، حكم را ثابت مي كنيم.(لطفا"مراحل را از ستون راست دنبال كنيد.)