اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**TURBO_BOY2006** · 29-05-2010, 00:51

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

براي اين تابعي كه شما گفتين به نظرم به دو روش ميشه بسط مك‌لورن رو پيدا كرد

روش اول)

همونطور كه مي‌دونين سري تواني يك تابع با سري مك‌لورن اون يكي هست. مثلا ما مي‌دونيم كه

$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n$

پس سري مك‌لورن تابع $f(x)=1/(1-x)$ هم همين ميشه. از طرفي

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

در نتيجه

$\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=1$

و از اين رابطه به راحتي ميشه مشتق مرتبه‌ي $n$ ام تابع $f$ رو در نقطه‌ي صفر محاسبه كرد.
اين كمك مي‌كنه كه ما سري مك‌لورن تابع‌هايي رو بتونيم بدست بياريم كه سري توانيشون رو بلديم.

براي تابع مورد نظر اگر $|x^2+x|<1$ آنگاه داريم

$\frac{x}{1-(x+x^2)}=x\sum_{n=0}^\infty(x+x^2)^n=x\sum_{n=0}^\infty x^n(1+x)^n$

حالا ضريب $x^n$ رو در سمت راست پيدا كنين.

روش دوم)

فرض كنين

$\frac{x}{1-x-x^2}=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$

طرفين وسطين كنين و ضرايب بسط‌هاي بدست اومده در دو طرف رو مساوي قرار بدين تا $a_n$ ها محاسبه بشن.

‌

سلام
توضیحاتتونو خوندم ولی خیلی متوجه نشدم.فرمول آخریه کدمه حالا؟!! یعنی با داشتن n بشه مشتق در نقطه صفر رو بدست آورد؟

ممنون.نمیدونم چرا قاطیدم؟!!!

.

**lahij_web** · 29-05-2010, 01:09

یه سوال ریاضی کوچولو !
امروز یجا دیدم :
اگه فرض کنیم که:

2 + 3 = 10
7 + 2 = 63
6 + 5 = 66
8 + 4 = 96

پس

9 + 7 =????

بجای علامت سوال عدد مورد نظرو بگید

**kral_pontiac** · 29-05-2010, 01:32

نوشته شده توسط lahij_web [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

یه سوال ریاضی کوچولو !
امروز یجا دیدم :
اگه فرض کنیم که:

2 + 3 = 10
7 + 2 = 63
6 + 5 = 66
8 + 4 = 96

پس

9 + 7 =????

بجای علامت سوال عدد مورد نظرو بگید

3+2=5
2*5=10

2+7=9
7*9=63

5+6=11
6*11=66

4+8=12
8*12=96
========================
7+9=16
9*16=144

**m.h user** · 29-05-2010, 09:36

سلام

TURBO_BOY2006 خيلي ممنون از كمكتون.

حالا يه سوال ديگه دارم .در حقيقت اصل سوال اين بود:

[IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?prm=\sqrt{12*\sqrt{12*\sqrt{12*\sqrt{... .\sqrt{12}}}}}[/IMG]

كه در كل تعداد راديكالا 30 تاست.كه من تبديلش كردم به اين:

$prm=12^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{30}}}=12^{1-\frac{1}{2}^{30}}$

و جالب اين كه براي n هاي بزرگ (از 20 به بعد) ديگه با توجه به فرمولي كه TURBO_BOY2006 فرمودن كل توان 1 ميشه و جواب ميشه prm=12! و البته جواب كاملا درسته!

اما ميخوام بدونم راه ديگه اي هم براي به دست آوردن جواب همچين سوالي ميتونه وجود داشته باشه؟؟

**eh_mn** · 29-05-2010, 13:41

نوشته شده توسط TURBO_BOY2006 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام
توضیحاتتونو خوندم ولی خیلی متوجه نشدم.فرمول آخریه کدمه حالا؟!! یعنی با داشتن n بشه مشتق در نقطه صفر رو بدست آورد؟

ممنون.نمیدونم چرا قاطیدم؟!!!

.

اجازه بدين راه حل اول رو دنبال كنيم. با يكم ساده‌سازي داريم

$f(x)=\sum_{n=0}^\infty x^{n+1}(x+1)^n=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n x^{n+1+k}\binom{n}{k}$

بنابراين براي يه توان خاص از $x$ مثلاً توان $m$ ام بايد همه‌ي دوتايي‌هايي مثل $k$ و $n$ رو پيدا كنيم كه $n+1+k=m$ يا به طور معادل $n+k=m-1$ . از طرفي $k\leq n$ در نتيجه

$\\n=\left[\frac{m-1}{2} \right],\left[\frac{m-1}{2} \right]+1,\dots,m-1\\ k=m-1-n$

پس اگه تا حالا اشتباه نكرده باشم ضريب $x^m$ از رابطه‌ي زير بدست مياد

$\sum_{n=\left[\frac{m-1}{2} \right]}^{m-1}\binom{m-1}{m-1-n}$

بنابراين

$\boxed{f^{(m)}(0)=m!\sum_{n=\left[\frac{m-1}{2} \right]}^{m-1}\binom{m-1}{m-1-n}}$

**davy jones** · 29-05-2010, 21:36

سلام.

نوشته شده توسط m.h user [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام

TURBO_BOY2006 خيلي ممنون از كمكتون.

حالا يه سوال ديگه دارم .در حقيقت اصل سوال اين بود:

[IMG]http://latex.codecogs.com/gif.latex?prm=\sqrt{12*\sqrt{12*\sqrt{12*\sqrt{... .\sqrt{12}}}}}[/IMG]

كه در كل تعداد راديكالا 30 تاست.كه من تبديلش كردم به اين:

$prm=12^{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+...+\frac{1}{2^{30}}}=12^{1-\frac{1}{2}^{30}}$

و جالب اين كه براي n هاي بزرگ (از 20 به بعد) ديگه با توجه به فرمولي كه TURBO_BOY2006 فرمودن كل توان 1 ميشه و جواب ميشه prm=12! و البته جواب كاملا درسته!

اما ميخوام بدونم راه ديگه اي هم براي به دست آوردن جواب همچين سوالي ميتونه وجود داشته باشه؟؟

اگه تعداد رادیکالها بینهایت تا باشه میشه از یه راه معروف استفاده کرد و اون نادیده گرفتن یه دوره تناوبه. به طور مثال اگه تو عبارت زیر:

$A=\sqrt{12\sqrt{12\sqrt{12\sqrt{...}}}}$

تعداد رادیکالها بینهایت باشه میتونیم این طور به این مساله نگاه کنیم:

$A=\sqrt{12{\color{red} \sqrt{12\sqrt{12\sqrt{...}}}}}\Rightarrow A=\sqrt{12A}\Rightarrow A^{2}-12A=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} A_{1}=0\rightarrow unavalable\\ A_{2}=12 \end{matrix}\right.$

جواب اول قابل قبول نیست چون به وضوح A عددی مثبت است و نمیتواند صفر شود. جواب دوم صحیح است. در حقیقت در اینجا از تناوب دوم به بعد (قسمت قرمز رنگ) نیز A فرض شده است و این روش فقط هنگامی صحیح است که تعداد تناوبها به سمت بینهایت میل کند.

=============================

نوشته شده توسط mohsen_blid [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بچه ها من می خوام بدونم که جواب معادله قطبی زیر چی هست و چجوری بدست میاد
منظورم مختصات تتاش هست
$r^2=16cos2\theta$

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

$r^{2}\geq 0 \rightarrow (ever)\Rightarrow 16cos(2\theta )\geq 0\Rightarrow 2cos^{2}(\theta )-1\geq \frac{0}{16}=0\Rightarrow cos^{2}(\theta )\geq \frac{1}{2}\Rightarrow \frac{-\sqrt{2}}{2}\geq cos(\theta )\geq \frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \frac{\pi }{4}\leq \theta \leq \frac{3\pi }{4}$

موفق باشین.
89/3/8

**m.h user** · 30-05-2010, 10:24

با تشكر از davy jones.

اگه تعداد رادیکالها بینهایت تا باشه میشه از یه راه معروف استفاده کرد و اون نادیده گرفتن یه دوره تناوبه.

دقيقا در جواب اين تست تو كتابي كه خوندمش مولف از همين روش ناديده گرفتن استفاده كرده بود (فكر كنم ناديده مي گيرن چون بعد 20 ديگه 1 ميشه) ولي چون از نظر من منطقي نبود دنبال راه ديگه اي گشتم! خب حالا متوجه شدم جواب اوونم درست بوده اگرچه من روش خودمو با فرمولي كه TURBO_BOY2006 ارائه كردن خيلي بهتر مي دونم (چون براي اعداد كوچكتر از 20 هم منطقي تر عمل مي كنه)

خب مسئله من حل شد با تشكر از همه!

**meral22** · 30-05-2010, 10:59

دوستان سلام
میخوام بدونم حرف w که واسه نمایش مجموعه اعداد حسابی به کار میره ابتدا ومخفف چه کلمه ای است؟
ممنون

**davy jones** · 30-05-2010, 14:45

نوشته شده توسط meral22 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

دوستان سلام
میخوام بدونم حرف w که واسه نمایش مجموعه اعداد حسابی به کار میره ابتدا ومخفف چه کلمه ای است؟
ممنون

البته زمانی که من اول دبیرستان بودم و این مبحث رو برامون میگفتن از حرف I استفاده میکردن. تو همه کتابها هم همین حرف I بود.

**Dew Drop** · 30-05-2010, 22:55

نوشته شده توسط meral22 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

دوستان سلام
میخوام بدونم حرف w که واسه نمایش مجموعه اعداد حسابی به کار میره ابتدا ومخفف چه کلمه ای است؟
ممنون

سلام
Whole numbers

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

2 کاربر از kral_pontiac بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

كشف فرمول

این کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

كشف فرمول

این کاربر از m.h user بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

چرا مجموعه اعداد حسابی رو با w نشان میدهند؟

3 کاربر از Dew Drop بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن