اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**eh_mn** · 18-06-2010, 12:23

نوشته شده توسط Paradise_human [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

این انتگرال قابل محاسبه است ؟

شاید بشه یک جواب به صورت سری به دست آورد.

با تغییر متغیر $x=\ln u$ داریم

$\int \frac{e^{2x}}{e^{2x}-x}\; dx=\int \frac{1}{1-\frac{x}{e^{2x}}}\; dx$

از طرفی همواره $\left|\frac{x}{e^{2x}}\right|<1$ . بنابراین

$\frac{1}{1-\frac{x}{e^{2x}}}=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x}{e^{2x}}\right)^n=\sum_{n=0}^\infty x^ne^{-2xn}$

در نتیجه انتگرال مورد سوال تبدیل میشه به

$\int\left(\sum_{n=0}^\infty x^ne^{-2xn}\right)dx=\sum_{n=0}^\infty\left(\int x^ne^{-2xn}\;dx\right)$

انتگرال داخل پرانتز به صورت سری متناهی قابل محاسبه است.

**afshin b** · 18-06-2010, 14:09

نوشته شده توسط Paradise_human [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.
تبدیل لاپلاس t ضبدر رادیکال t رو من هر کاری میکنم نمیتونم از طریق تعریف لاپلاس بدست بیارم .(انتگرال تعریف لاپلاسش رو نمیتونم حل کنم).
میتونید کمکم کنید ؟

جزئياتش رو خودتون حل كنين.
دوبار از جز به جز استفاده ميكنم:

$A=\int_{0}^ {\infty }e^{-st}t^{\frac{3}{2}}dt$

$u=t^{\frac {3}{2}}$

$dv=e^{-st} dt$

$du=\frac {3}{2}t^{\frac{1}{2}}dt$

$v=-\frac{1} {s}e^{-st}$

$\Rightarrow A=-\frac{1}{s}t^{\frac{3} {2}}e^{-st}+\frac{3}{2}\frac{1}{s}\int_{0}^ {\infty }e^{-st}t^{\frac{1}{2}}dt$

فقط قسمت انتگرالش رو كه با B نشون دادم حل ميكنم:

$t=x^{2}\Rightarrow dt=2xdx$

$\Rightarrow B=2\int_{0}^{\infty }e^{-sx^{2}}x^{2}dx$

$u=x\Rightarrow du=dx$

$dv=e^{-sx^{2}}xdx\Rightarrow v=-\frac{1}{2s}e^{-sx^{2}}$

$\Rightarrow B=2\left ( -\frac{1}{2s}xe^{-sx^{2}}+-\frac{1}{2s}\int_{0}^{\infty }e^{-sx^{2}}dx \right )$

حالا فقط ميمونه اين انتگرال آخري كه من قبلاً اينجا حلش كردم، فقط اين انتگرال يه s اضافه داره كه به راحتي خودت ميتوني قرار بدي و جواب فقط تقسيم بر s ميشه.

نوشته شده توسط afshin b [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

يه راه حل ديگه براي اين سوال:
حل با استفاده از مختصات قطبي:

$I=\int_{0}^{\infty }e^{-x^2}dx$

و همچنين ميتوان نوشت:

$I=\int_{0}^{\infty }e^{-y^2}dy$

از ضرب دو انتگرال فوق داريم:

$I^2=\int_{0}^{\infty }\int_{0}^{\infty }e^{-x^2-y^2}dxdy$

حال تغيير متغير قطبي را اعمال ميكنيم $r^2=x^2+y^2$ و $dxdy=rdrd\theta$

$I^2=\int_{0}^{\pi /2}\int_{0}^{\infty }e^{-r^2}rdrd\theta$
$I^2=\int_{0}^{\pi /2}1/2 d\theta =\pi /4\Rightarrow I=\sqrt{\pi }/2$

يعني اين انتگرال آخر ميشه $\frac{\sqrt{\pi }}{2s}$

**eh_mn** · 19-06-2010, 09:35

نوشته شده توسط Paradise_human [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.

این انتگرال رو هم نیمدونم چطور میشه ربطش داد به تدیل لاپلاس ولی استادمون تنها راهنمایی که کرد این بود که از lnx
e بگیرید .
منطورش از e گرفتن چی بوده ؟
میتونید راهنماییم کنید حلش کنم ؟
ممنون.

دوست عزيز از تغيير متغير $-\ln x=t$ استفاده كنين ميشه همون چيزي كه ميخواين

**Paradise_human** · 19-06-2010, 11:50

نوشته شده توسط eh_mn [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

دوست عزيز از تغيير متغير $-\ln x=t$ استفاده كنين ميشه همون چيزي كه ميخواين

با تغییر متغیر به اینجا رسید ....

اما تبدیل لاپلاس از 0 تا بینهایته اما این از 0 تا یکه !

**davy jones** · 19-06-2010, 12:37

نوشته شده توسط Paradise_human [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با تغییر متغیر به اینجا رسید ....

اما تبدیل لاپلاس از 0 تا بینهایته اما این از 0 تا یکه !

شما وقتی از تغییر متغیر استفاده میکنی، باید حدود انتگرال رو هم بر حسب متغیر جدید حساب کنی. صفر تا یک مال وقتی بود که از x استفاده میکردیم.

البته بنده تغییر متغیر دیگه ای دادم و انتگرال رو ساده تر کردم که در زیر میبینین:

$\150dpi I=\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{-ln(x)}}dx\Rightarrow -ln(x)=t^{2}\rightarrow ln(\frac{1}{x})=t^{2}\rightarrow \frac{1}{x}=e^{t^{2}}\rightarrow x=e^{-t^{2}}\rightarrow dx=-2te^{-t^{2}}dt\rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\rightarrow (t=0)\\ x=0\rightarrow (t \to \infty) \end{matrix}\right.\Rightarrow I=\int_{0}^{\infty }\frac{-2te^{-t^{2}}}{\sqrt{t^{2}}}dt=-2\int_{0}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$

انتگرال آخر هم که در پست جنای افشین خان بهش اشاره شده بود.

موفق باشین.
89/3/29

**mohsen_blid** · 19-06-2010, 13:31

سلام خدمت دوستان
میشه یکی یه کمکی کنه می خوام معنای کراندار بودن رو بدونم منظورش چیه ؟
ایا منظور اینه که تابع ما دارای یک بازه مشخص باشه که درش پیوسته هست یا نه ؟

**davy jones** · 19-06-2010, 20:51

نوشته شده توسط mohsen_blid [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام خدمت دوستان
میشه یکی یه کمکی کنه می خوام معنای کراندار بودن رو بدونم منظورش چیه ؟
ایا منظور اینه که تابع ما دارای یک بازه مشخص باشه که درش پیوسته هست یا نه ؟

پیوستگی جزء شرطش نیست. همین که مقدار y بین یک بازه متناهی باشه یعنی کرانداره.

**eh_mn** · 19-06-2010, 21:13

نوشته شده توسط mohsen_blid [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام خدمت دوستان
میشه یکی یه کمکی کنه می خوام معنای کراندار بودن رو بدونم منظورش چیه ؟
ایا منظور اینه که تابع ما دارای یک بازه مشخص باشه که درش پیوسته هست یا نه ؟

همون طور كه دوستمون davy jones گفتن

مجموعه‌ي $X\subseteq\mathbb{R}$ رو كراندار مي‌گيم هر گاه عدد مثبتي مانند $M$ موجود باشد به طوري كه

$\forall x\in X;\;\; |x|\leq M$

تابع $f:A\to\mathbb{R}$ را كراندار گوييم هرگاه برد آن مجموعه‌اي كراندار باشد يعني عدد مثبت $M$ موجود باشد به طوري كه

$\forall x\in A;\;\; |f(x)|\leq M$

تابع ديريكله يعني تابع

$f(x)=\begin{cases}1 & x\in\mathbb{Q}\cr 0 & x\in\mathbb{Q}^c \end{cases}$

كرانداره ولي به هيچ صراطي مستقيم نيست!

**mohsen_blid** · 20-06-2010, 19:52

ممنون از دو دوست عزیز
من یه سوال در رابطه با تعریف حد دارم که در بسیاری از جاها این نوع سبک نوشته شده می خوام بهتر ازش بفههم برای همین می خوام در رابطه با دو موضوع

اپسیلون و دلتا در این جملات توضیحی بدید که بدونم منظورش دقیقا یعنی چی

**Iron** · 21-06-2010, 09:19

سلام دوست عزیز

عملا داره میگه که همیشه میتونی حداکثر فاصله بین f(x) و L رو باندازه دلخواه (غیر صفر) کوچیک کنی اگر حداکثر فاصله بین x و c رو باندازه کافی کوچیک کنی.

مثلا میگیم حد

$f\left ( x \right )= x^{2}+1$

وقتی x میل کنه بسمت صفر میشه 1

تعریفی که شما نوشتید رو میشه اینجوری بیان کرد که اگر اپسیلون رو بگیرید 0.01
سیگما =0.1 وجود داره که بازای اون اختلاف f(x) از 1 کوچکتر از اپسیلونه. (سیگما = 0.1 یعنی اینکه اختلاف x از صفر کمتر از 0.1 باشه)
به همین ترتیب هر چقدر اپسیلون رو کوچیک بگیرید یه سیگمایی وجود خواهد داشت که بازای اون اختلاف f(x) از 1 کمتر از اپسیلون خواهد بود.

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

2 کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از afshin b بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

3 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از eh_mn بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از Iron بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن