اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**abcd20** · 22-04-2012, 20:19

نوشته شده توسط atmosphere [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

و چون ریاضیات از چپ خونده میشه، > علامت کوچکتر از خواهد بود

شرمنده ولی به نظرم من دقیقا بستگی داره شما از کدام طرف بخونی . نمیشه گفت که حالا > علامت کوچیک هست یا بزرگ بستگی داره که سمت چپ و راستش چی باشه .

**davy jones** · 22-04-2012, 20:54

سلام.
به نظرم یه راه راحت برای حفظ کردن جهت علامت کوچکتر و بزرگتر اینه که همیشه دقت کنین که تیزی نوک علامت > یا < باید به سمت عدد کوچکتر باشه. مثل این میمونه که عدد بزرگتر انگار پشت یک سپر قرار گرفته و با یک نیزه که از وسط اون سپر بیرون زده داره عدد کوچکتر رو نابود میکنه

موفق باشین.
91/2/3

**sdfssdfs** · 23-04-2012, 17:03

چقد سطح مطالب بالااست

**skyzare** · 23-04-2012, 17:20

نوشته شده توسط sdfssdfs [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

چقد سطح مطالب بالااست

با سلام .
ببنید این جا هر کسی هر سوالی که توی ذهنش باشه می پرسه .( چه سخت ...چه اسون ) بنابراین نمیشه براش سطحی تعیین کرد که حالا سطح مطالب این جا بالا هست یا پایین . حالا ممکنه یه سوال از نظر شما اسون بیاد ولی خوب در هر صورت سوال هست .

============================================

پ .ن : کسی که سوال می کند برای لحظه ای کوتاه در جهل و نادانی هست ولی کسی که سوال نمیکند تا ابد در جهل و نادانی هست .

**elahehamini** · 25-04-2012, 17:34

سلام.میشه یه نفر درون چرخزاد رو کامل برام حل کنه؟؟؟معادلات پارامتری اخرشو نی خوام.حل کاملشو می خوام

**davy jones** · 26-04-2012, 13:24

نوشته شده توسط elahehamini [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.میشه یه نفر درون چرخزاد رو کامل برام حل کنه؟؟؟معادلات پارامتری اخرشو نی خوام.حل کاملشو می خوام

سلام.
توضحاتی که میخوام بدم رو در هیچ سایت و فرومی پیدا نمیکنین. منظورم اینه که حتی تو معتبر ترین سایتهای خارجی مث ویکی پدیا هم روش اثبات فرمولهای پارامتری درون چرخزاد ها رو ننوشتن.

اول یه توضیحی برای سایر کاربران بدم که درون چرخزاد چیه؟

درون چرخزاد یا hypotrochoid (یا hypocycloid) عبارت است از اشکالی که از دوران یک دایره درون یک دایره ی دیگه به دست میاد. مانند اینها:

محتوای مخفی: کلیک کنین

محتوای مخفی: توضیحات بیشتر

---------------------

در اینگونه اشکال، 3 پارامتر مهم و تعیین کننده هستند:

1- شعاع دایره ی بزرگتر = R
2- شعاع دایره ی کوچکتر که درون دایره اول قرار گرفته است = r
3- فاصله ی نقطه ی مرجع ما که شکل را میکشد، از مرکز دایره ی کوچکتر = d

اگر در حالتی خاص d=r در نظر گرفته شود، اشکالی مانند شکل دوم بالا تشکیل میشود. در این حالت نسبت شعاع دو دایره را k نامیده و اشکال مختلف بر حسب k های متفاوت، گوناگون خواهند بود. مثالهایی از این حالت خاص را برای k های مختلف در زیر میتوانید ببینید:

محتوای مخفی: کلیک کنین

اما در اینجا سعی میکنم که برای حالت کلی معادلات پارامتری رو اثبات و حل کنم.
برای راحتی مرکز دایره ی بزرگتر رو در مبدا مختصات قرار میدیم. همچنین باز برای راحتی از مختصات قطبی استفاده میکنیم. و نیز باز هم برای راحتی بیشتر در شروع حرکت، نقطه ی مرجع متحرگ رو روی محور x ها در نظر میگیریم. یعنی در لحظه ی صفر داریم: $\theta _{0}=0$

میخواهیم ببینیم در هر لحظه بر حسب $\theta$ ، فاصله ی متحرک مرجع ما از مبدا مختصات چقدر خواهد بود؟
ذکر این نکته هم ضروریه که $\theta$ در حقیقت زاویه ی بین خط المرکزین دو دایره با محور x ها در هر لحظه است.

$\vec{OM}=\vec{O{O}'}+\vec{{O}'M}$

در نتیجه طول نقطه ی M (یعنی تصویر نقطه ی M روی محور x ها) برابر میشه با مجموع طول تصویرهای دو بردار 'OO و O'M.

طول تصویر بردار 'OO که به راحتی محاسبه میشود چرا که زاویه ی بین این بردار با محور x ها را میدانیم که برابر با $\theta$ است. پس طول تصویر بردار 'OO روی محور x ها برابر میشود با:

$\left |\vec{O{O}'} \right |\cos (\theta )=(R-r)\cos (\theta )$

اما برای محاسبه ی طول تصویر بردار O'M لازم است که زاویه ی این بردار را با افق بدانیم. برای اینکار باید محاسبه کرد که دایره ی کوچکتر به ازای هر یک دور که روی محیط دایره ی بزرگ میزند، چند دور روی محیط خود چرخیده است؟ محیط دایره ی بزرگ برابر است با $2\pi R$ . محیط دایره ی کوچک هم برابر است با $2\pi r$ . پس وقتی که دایره ی کوچک روی محیط دایره ی بزرگ، یک دور کامل را طی میکند، در حقیقت به اندازه ی:

$\frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac{R}{r}$

روی محیط خودش دور زده است. پس زاویه ی بردار O'M را که آن را $\alpha$ مینامیم این چنین بدست می آید:

$\alpha =\theta -\frac{R}{r}\theta =\theta (1-\frac{R}{r})=\theta (\frac{r-R}{r})$

پس حالا میتونیم مانند بردار 'OO، طول تصویر بردار O'M را بر روی محور x ها را هم حساب کنیم. این طول برابر میشود با:

$\left |{O}'M \right |\cos (\alpha )=d.\cos ((1-\frac{R}{r})\theta )=d.\cos (\frac{r-R}{r}\theta )$

بنابراین تصویر نقطه ی M روی محور x ها برابر میشه با:

$x_{M}=(R-r)\cos (\theta )+d\cos (\frac{r-R}{r}\theta )={\color{Golden} (R-r)\cos (\theta )+d\cos (\frac{R-r}{r}\theta )}$

با استدلالی مشابه، تصویر نقطه ی M روی محور y ها هم برابر میشه با:

$y_{M}=(R-r)\sin (\theta )+d\sin (\frac{r-R}{r}\theta )={\color{Golden} (R-r)\sin (\theta )-d\sin (\frac{R-r}{r}\theta )}$

اما این جوابها به خودی خود ارزش ندارند. چرا که باید در هر لحظه محاسبه کنیم که $\theta$ برابر با چند است و متغیر $\theta$ نیز متغیری وابسته به زمان است. اگرحرکت دایره ی کوچک را در درون دایره ی بزرگ، حرکتی یکنواخت و بدون شتاب زاویه ای فرض کنیم، فرکانس حرکت دایره ی کوچک را در درون دایره ی بزرگ مقدار ثابتی مانند f خواهد بود و $\theta$ در هر لحظه برابر میشود با:

$\theta (t)=2\pi f t+\theta _{0}$

اما خودمان برای راحتی، قرارداد کردیم که : $\theta _{0}=0$ پس داریم:

$\theta (t)=2\pi f t$

با این حساب و در نهایت مختصات نقطه ی مرجع متحرک در هر لحظه ی دلخواه t برابر است با:

${\color{Golden} \left\{\begin{matrix} x(t)=(R-r)\cos (2\pi ft)+d\cos (\frac{2(R-r)\pi f}{r}\: t)\\ \\ y(t)=(R-r)\sin (2\pi ft)-d\sin (\frac{2(R-r)\pi f}{r}\: t) \end{matrix}\right.}$

موفق باشین.
91/2/7

**skyzare** · 26-04-2012, 15:45

با سلام .

با تشکر از پاسخ شما .

این قسمت :

ما برای محاسبه ی طول تصویر بردار O'M لازم است که زاویه ی این بردار را با افق بدانیم. برای اینکار باید محاسبه کرد که دایره ی کوچکتر به ازای هر یک دور که روی محیط دایره ی بزرگ میزند، چند دور روی محیط خود چرخیده است؟ محیط دایره ی بزرگ برابر است با $2\pi R$ . محیط دایره ی کوچک هم برابر است با $2\pi r$ . پس وقتی که دایره ی کوچک روی محیط دایره ی بزرگ، یک دور کامل را طی میکند، در حقیقت به اندازه ی:

$\frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac{R}{r}$

روی محیط خودش دور زده است. پس زاویه ی بردار O'M را که آن را $\alpha$ مینامیم این چنین بدست می آید:

$\alpha =\theta -\frac{R}{r}\theta =\theta (1-\frac{R}{r})=\theta (\frac{r-R}{r})$

می فهمم چی کار کردید ولی خوب اون زاویه الفا که در واقع زاویه برادر O'M با افق هست چه ارتباطی با محیط دایره بزرگ و تعداد دفعات چرخش دایره کوچیک روی محیط خودش داره ؟

**قاهر - Gahir** · 26-04-2012, 22:13

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

$(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}})^{\frac{1}{p_{1}}}\geq (\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}})^{\frac{1}{p_{2}}}\Rightarrow [(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}})^{\frac{1}{p_{1}}}]^{p_{1}p_{2}}\geq [(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}})^{\frac{1}{p_{2}}}]^{p_{1}p_{2}}\Rightarrow (\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}})^{p_{2}}\geq (\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}})^{p_{1}}$

$n\rightarrow n+1\; \Rightarrow (\sum_{k=1}^{n+1}x_{k}^{p_{1}})^{p_{2}}\geq (\sum_{k=1}^{n+1}x_{k}^{p_{2}})^{p_{1}}\Rightarrow (\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}}+x_{n+1}^{p_{1}})^{p_{2}}\geq (\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}}+x_{n+1}^{p_{2}})^{p_{1}}\Rightarrow \sum_{j=0}^{p_{2}}\binom{p_{2}}{j}(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}})^{p_{2}-j}(x_{n+1}^{p_{1}})^{j}\geq \sum_{j=0}^{p_{1}}\binom{p_{1}}{j}(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}})^{p_{1}-j}(x_{n+1}^{p_{2}})^{j}$

به ازای j=0 به حالت فرض استقرامون یعنی حالتی که n رو به n+1 ارتقا نداده بودیم میرسیم که فرض کردیم همواره برقراره. پس میتونیم سری رو از جمله ی بعدیش شروع کنیم:

$\Rightarrow \sum_{j=1}^{p_{2}}\binom{p_{2}}{j}(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}})^{p_{2}-j}(x_{n+1}^{p_{1}})^{j}\geq \sum_{j=1}^{p_{1}}\binom{p_{1}}{j}(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}})^{p_{1}-j}(x_{n+1}^{p_{2}})^{j}$

که ظاهرا اثبات آخری آسون به نظر نمیاد

مغزم دیگه هنگ کرد راستیاتش.

یعنی واقعا اینقدر سخته از راه استقرا بخوایم بریم؟

موفق باشین.

91/2/3

سلام دوست گرامی ... ممنون بابت جوابتون ولی یه مشکلی هست که عجیب میدونم واسه چی به اون دقت نکردید.؟!

اوندش در مرحله‌ی اول واسه سادگی کار، توان $\frac{1}{P_{1}}$ و $\frac{1}{P_{2}}$ رو در دو طرف نامساوی با ضرب $P_{1}P_{2}$ (مثبت) به صورت ساده‌تر نوشتید ... در واقع تا اینجا، کاری انجام نداده‌اید.
اگه فرض کنیم برای n=k تا جمله، این عبارت نامساوی برقرار باشه، باید بتونیم تا n=k+1 امین جمله هم برقرار کنیم تا حکم اصل استقرای ریاضی برای هر n ای صادق بشه.(اینا مراحل حل اثباتی به روش اصل استقرای ریاضی است)

ولی شما با چه مجوزی همون اول کاری در اثبات، n رو به قول خودتون به n+1 ارتقا دادید و بعد با دونستن برقراری این نامساوی مابقی کارا رو انجام داده‌اید ؟؟؟ ما که تا اینجای کار نمیدونیم نامساوی :

$(\sum_{k=1}^{n+1}x_{k}^{p_{1}})^{p_{2}}\geq (\sum_{k=1}^{n+1}x_{k}^{p_{2}})^{p_{1}}$
برقرار هستش! بعد بیایم ازش دیگر انتسابات یک طرفه رو استنتاج کنیم ! این اصلا در فرآیند اثبات استقرایی نیست!

مثلا با توجه به فرض روی سؤال که $0< P_{1} \leqslant P_{2}$ فقط کافیه $x_{n+1}> 1$ باشه تا نتونیم با اطمینان بگیم که طرفین نامساوی بالا درست هستش!

حالا فرض کنید که این $_{(i=1,...,n+1)}x_{i}$ های شما که در دو طرف نامساوی گنجونده میشن، حتی پریشی از این آرایش n+1تایی از این اعداد حقیقی مثبت نباشند.

قسمت آخری که فرمودید خیلی ساده به نظر نمیاد ، ظاهراً بسط نیتونی اون عبارت رو نوشته‌اید.

من که قانع نشدم ... اگه اینجوری مدنظرتون بوده باشه یه اشتباه فاحش رو مرتکب شدید ...
از خیر اثبات استقرائیش گذشتم ... البته این مسئله حل شدست و کاملا برقراره ...
ایشالا اگه تونستم اثبات به روش غیر استقرایی رو همینجا قرار میدم.
بازم بابت توجهتون به سوالم خیلی ممنونم.

با تشکر : قاهر.

**elahehamini** · 27-04-2012, 08:53

سلام میشه این مسئله از مبحث چرخزاد رو برام حل کنید لطفا؟
خط L به معادله ی L:x=2r و دایره ی c به مرکز (c(r,0 و شعاع r داده شده اند.هر خط m که از o بگذرد دایره را در نقطه ای مانند A و خط L را در نقطه ای چون B قطع می کند.نقطه ی M بر خط m را چنان انتخاب کنید که M=o یا M بین A و o باشد.همچنین AB=oM .وقتی خط m تغییر کند نقطه ی M یک خم به نام پیچکوار یا سیسوئید پدید می اورد.با توجه به شکل معادلات پارامتری پیچکوار را بر حسب تتا بنویسید.

---------- Post added at 09:53 AM ---------- Previous post was at 09:52 AM ----------

ببخشید شکلشو نمیدونم چطوری بکشم.اگه بدون شکل نمی تونید ,بگید یه کاری می کنم

**elahehamini** · 27-04-2012, 11:18

نوشته شده توسط davy jones [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام.
توضحاتی که میخوام بدم رو در هیچ سایت و فرومی پیدا نمیکنین. منظورم اینه که حتی تو معتبر ترین سایتهای خارجی مث ویکی پدیا هم روش اثبات فرمولهای پارامتری درون چرخزاد ها رو ننوشتن.

اول یه توضیحی برای سایر کاربران بدم که درون چرخزاد چیه؟

درون چرخزاد یا hypotrochoid (یا hypocycloid) عبارت است از اشکالی که از دوران یک دایره درون یک دایره ی دیگه به دست میاد. مانند اینها:

محتوای مخفی: کلیک کنین

محتوای مخفی: توضیحات بیشتر

---------------------

در اینگونه اشکال، 3 پارامتر مهم و تعیین کننده هستند:

1- شعاع دایره ی بزرگتر = R

2- شعاع دایره ی کوچکتر که درون دایره اول قرار گرفته است = r

3- فاصله ی نقطه ی مرجع ما که شکل را میکشد، از مرکز دایره ی کوچکتر = d

اگر در حالتی خاص d=r در نظر گرفته شود، اشکالی مانند شکل دوم بالا تشکیل میشود. در این حالت نسبت شعاع دو دایره را k نامیده و اشکال مختلف بر حسب k های متفاوت، گوناگون خواهند بود. مثالهایی از این حالت خاص را برای k های مختلف در زیر میتوانید ببینید:

محتوای مخفی: کلیک کنین

اما در اینجا سعی میکنم که برای حالت کلی معادلات پارامتری رو اثبات و حل کنم.

برای راحتی مرکز دایره ی بزرگتر رو در مبدا مختصات قرار میدیم. همچنین باز برای راحتی از مختصات قطبی استفاده میکنیم. و نیز باز هم برای راحتی بیشتر در شروع حرکت، نقطه ی مرجع متحرگ رو روی محور x ها در نظر میگیریم. یعنی در لحظه ی صفر داریم: $\theta _{0}=0$

میخواهیم ببینیم در هر لحظه بر حسب $\theta$ ، فاصله ی متحرک مرجع ما از مبدا مختصات چقدر خواهد بود؟

ذکر این نکته هم ضروریه که $\theta$ در حقیقت زاویه ی بین خط المرکزین دو دایره با محور x ها در هر لحظه است.

$\vec{OM}=\vec{O{O}'}+\vec{{O}'M}$

در نتیجه طول نقطه ی M (یعنی تصویر نقطه ی M روی محور x ها) برابر میشه با مجموع طول تصویرهای دو بردار 'OO و O'M.

طول تصویر بردار 'OO که به راحتی محاسبه میشود چرا که زاویه ی بین این بردار با محور x ها را میدانیم که برابر با $\theta$ است. پس طول تصویر بردار 'OO روی محور x ها برابر میشود با:

$\left |\vec{O{O}'} \right |\cos (\theta )=(R-r)\cos (\theta )$

اما برای محاسبه ی طول تصویر بردار O'M لازم است که زاویه ی این بردار را با افق بدانیم. برای اینکار باید محاسبه کرد که دایره ی کوچکتر به ازای هر یک دور که روی محیط دایره ی بزرگ میزند، چند دور روی محیط خود چرخیده است؟ محیط دایره ی بزرگ برابر است با $2\pi R$ . محیط دایره ی کوچک هم برابر است با $2\pi r$ . پس وقتی که دایره ی کوچک روی محیط دایره ی بزرگ، یک دور کامل را طی میکند، در حقیقت به اندازه ی:

$\frac{2\pi R}{2\pi r}=\frac{R}{r}$

روی محیط خودش دور زده است. پس زاویه ی بردار O'M را که آن را $\alpha$ مینامیم این چنین بدست می آید:

$\alpha =\theta -\frac{R}{r}\theta =\theta (1-\frac{R}{r})=\theta (\frac{r-R}{r})$

پس حالا میتونیم مانند بردار 'OO، طول تصویر بردار O'M را بر روی محور x ها را هم حساب کنیم. این طول برابر میشود با:

$\left |{O}'M \right |\cos (\alpha )=d.\cos ((1-\frac{R}{r})\theta )=d.\cos (\frac{r-R}{r}\theta )$

بنابراین تصویر نقطه ی M روی محور x ها برابر میشه با:

$x_{M}=(R-r)\cos (\theta )+d\cos (\frac{r-R}{r}\theta )={\color{Golden} (R-r)\cos (\theta )+d\cos (\frac{R-r}{r}\theta )}$

با استدلالی مشابه، تصویر نقطه ی M روی محور y ها هم برابر میشه با:

$y_{M}=(R-r)\sin (\theta )+d\sin (\frac{r-R}{r}\theta )={\color{Golden} (R-r)\sin (\theta )-d\sin (\frac{R-r}{r}\theta )}$

اما این جوابها به خودی خود ارزش ندارند. چرا که باید در هر لحظه محاسبه کنیم که $\theta$ برابر با چند است و متغیر $\theta$ نیز متغیری وابسته به زمان است. اگرحرکت دایره ی کوچک را در درون دایره ی بزرگ، حرکتی یکنواخت و بدون شتاب زاویه ای فرض کنیم، فرکانس حرکت دایره ی کوچک را در درون دایره ی بزرگ مقدار ثابتی مانند f خواهد بود و $\theta$ در هر لحظه برابر میشود با:

$\theta (t)=2\pi f t+\theta _{0}$

اما خودمان برای راحتی، قرارداد کردیم که : $\theta _{0}=0$ پس داریم:

$\theta (t)=2\pi f t$

با این حساب و در نهایت مختصات نقطه ی مرجع متحرک در هر لحظه ی دلخواه t برابر است با:

${\color{Golden} \left\{\begin{matrix} x(t)=(R-r)\cos (2\pi ft)+d\cos (\frac{2(R-r)\pi f}{r}\: t)\\ \\ y(t)=(R-r)\sin (2\pi ft)-d\sin (\frac{2(R-r)\pi f}{r}\: t) \end{matrix}\right.}$

موفق باشین.

91/2/7

ممنونممممممم

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

2 کاربر از abcd20 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

6 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

5 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از elahehamini بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

8 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از قاهر - Gahir بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن