اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

[ali_hp]

با سلام

فرض کنید A مجموعه ای باشد که با اضافه کردن ضرایب یک چند جمله ای ثابت به Q ساخته می شود. آیا منظور شما از S مجموعه ای است که با اضافه کردن جمع و ضرب عناصر A به همراه ریشه های حقیقی عناصر A به A به دست می آید؟

سلام
نه با این حساب مثلا sqrt{1+sqrt{2}}l عضو S نمی شود.
همین مجموعه A را در نظر بگیرید جمع و ضرب عناصر A به همراه ریشه های حقیقی عناصر A را به مجموعه A اضافه می کنیم.مجموعه بدست امده را B بنامید دوباره جمع و ضرب عناصر Bبه همراه ریشه های حقیقی عناصر B را به B اضافه می کنیم و مجموعه بدست امده را C می نامیم همین کار را برروی C انجام می دهیم و ... این کار را تا بی نهایت انجام می دهیم.مجموعه نهایی مجموعه S است.

[mofidy1]

با سلام

آقای حسین پوران، لطفا چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید و روش ساختن S را برای آن توضیح دهید:

موفق باشید.

[mofidy1]

با سلام

دوستان عزیز، از این به بعد، هر چند هفته یکبار، یک مساله در سطح رشته ریاضی دانشگاه، مطرح خواهم کرد. امیدوارم مورد توجه و استفاده دوستان دانشجو قرار گیرد. البته ممکن است مسائل مطرح شده در این بخش را بتوان با روشهای دبیرستانی هم حل کرد، اما معمولا برای حل آنها نیاز به روشهای پیشرفته تری داریم.

مساله این هفته، یک مساله نسبتاً ساده جبر خطی است.

مساله:

فرض کنید A و B دو ماتریس هم مرتبه باشند به گونه ای که AB=A+B. ثابت کنید AB=BA.

موفق باشید.

ارسال متن: شنبه 9 دیماه 1385

با سلام

مساله را با توجه به این قضیه مهم حل می کنیم که اگر C و D دو ماتریس مربعی باشند و I ماتریس همانی و داشته باشیم CD=I می توان نتیجه گرفت که DC=I.

با تشکر از آقای مرتضی بیات، دانشجوی دوره دکتری ریاضی مرکز تحصیلات تکمیلی در علوم پایه زنجان، که این مساله و حل آن، پیشنهاد ایشان بود.

موفق باشید.

ارسال متن: جمعه 15 دیماه 1385

[aminkarami]

سلام
ببخشید معلم ما اینو سوال داده می خواستم بدونم کسی از دوستان می تونه به من کمک کنه مرسی

[ali_hp]

با سلام

آقای حسین پوران، لطفا چند جمله ای زیر را در نظر بگیرید و روش ساختن S را برای آن توضیح دهید:

موفق باشید.

سلام
S را با استفاده از روش زیر می سازیم.که شاید ساده تر باشد:
تعریفی دیگر برای مجموعه S :
یک چند جمله ای درجه 3 داریم به صورت:X^3+ax^2+bx+c .
همه اعداد گویا را به همراه ضرایب چند جمله ای(a,b,c) روی تخته سیاه نوشته ایم.می توانیم حاصلضرب دو عدد که روی تخته سیاه هستندرا روی تخته سیاه بنوسیم و همچنین مجموع دو عدد که روی تخته سیاه هستند را روی تخته سیاه بنویسیم و همچنین ریشه حقیقی هر عدد روی تخته سیاه را روی تخته سیاه می نویسیم.S عبارت است از همه اعدادی که می توانیم روی تخته سیاه بنویسیم.
در مورد چند جمله ای که مثال زدیدضرایب این چند جمله ای یک و b و منفی یک و منفی b هستند که در ان :

پس اعدادی که در ابتدا روی تخته نوشته شده اند عبارتند از:همه اعداد گویا و b و منفیb.حالا می خواهیم ببینیم ریشه های این چند جمله ای که یک و پی و معکوس پی هستند روی تخته سیاه ظاهر می شوند یا نه.
داریم:


b,-1 روی تخته هستند پس مجموع انها یعنی b-1 را روی تخته می نویسیم.b-1,b-1 روی تخته هستند پس حا صلضرب انها یعنی مجذور b-1 را روی تخته می نویسیم.مجذور b-1 و منفی چهار هر دو را روی تخته هستند
پس مجموع انها یعنی

را روی تخته سیاه می نویسیم.به سادگی می توان دید که این عدد مثبت است پس رادیکال ان با فرجه دو را روی تخته سیاه می نویسیم و چون منفی یک روی تخته است حاصلضرب ان با این رادیکال را روی تخته می نویسیم.
b-1 هم روی تخته است پس دو عدد زیر را روی تخته می نویسیم:

در نهایت یک دوم هم روی تخته است پس حاصلضرب ان در دو عدد بالا را هم روی تخته می نویسیم.پس توانستیم
پی ومعکوس پی را روی تخته بنویسیم.

[ali_hp]

سلام
ببخشید معلم ما اینو سوال داده می خواستم بدونم کسی از دوستان می تونه به من کمک کنه مرسی

سلام
فرض کنیدp جز اعشاری لگاریتم x باشد و n جز صحیح لگاریتم x. یعنی:

پس طبق تعریف لگاریتم داریم:

از طرفی:

پس داریم:

[mofidy1]

با سلام

آقای حسین پوران، فرض کنید a یک عدد اصم باشد. لطفا برای چند جمله ای زیر هم روش ساختن S را توضیح دهید:

متشکرم.

[ali_hp]

با سلام

آقای حسین پوران، فرض کنید a یک عدد اصم باشد. لطفا برای چند جمله ای زیر هم روش ساختن S را توضیح دهید:

متشکرم.

سلام
در مورد این چند جمله ای هم روش ساختن S مشابه است و چیز جدیدی برای گفتن ندارم فقط اینکه نمی توانم مانند مثال قبلی ثابت کنم که ریشه های چند جمله ای از اعضای S هستند. و البته فکر می کنم اگر بتوان ثابت کرد ریشه های این چند جمله ای عضو S هستند به سادگی می توان نتیجه رابه هر چند جمله ای به صورتx^3+cx^2+dx+e تعمیم داد.

[mofidy1]

سلام
در مورد این چند جمله ای هم روش ساختن S مشابه است و چیز جدیدی برای گفتن ندارم فقط اینکه نمی توانم مانند مثال قبلی ثابت کنم که ریشه های چند جمله ای از اعضای S هستند. و البته فکر می کنم اگر بتوان ثابت کرد ریشه های این چند جمله ای عضو S هستند به سادگی می توان نتیجه رابه هر چند جمله ای به صورتx^3+cx^2+dx+e تعمیم داد.

آفرین، هدف بنده هم دقیقا همین بود. ظاهرا بر اساس ایده های شما در پست قبلی، می توان ثابت کرد که اگر حداقل یکی از این ریشه ها گویا باشد، ادعای شما در مورد S درست است. حال اگر هر سه اصم باشند چه؟

موفق باشید.

[ali_hp]

آفرین، هدف بنده هم دقیقا همین بود. ظاهرا بر اساس ایده های شما در پست قبلی، می توان ثابت کرد که اگر حداقل یکی از این ریشه ها گویا باشد، ادعای شما در مورد S درست است. حال اگر هر سه اصم باشند چه؟

موفق باشید.

در حقیقت اگر ما بتوانیم ثابت کنیم یکی از ریشه های چند جمله ای مثلا q عضوی از S است انگاه با تقسیم چند جمله ای بر x-q و استفاده از فرمول معادله درجه دوم برای خارج قسمت تقسیم می توان نشان داد بقیه ریشه های حقیقی هم عضو S هستند.در حالت خاص وقتی یک ریشه چند جمله ای عدد گو یا باشد به وضو ح این عدد گویاعضو S است و می توان نشان داد که بقیه ریشه های حقیقی نیز عضو S هستند.
در مورد این چند جمله ای که ریشه هایش عدد پی و عدد نپر بودند من ادعایم را در مورد S نتوانستم ثابت کنم ولی
هنوز معلوم نیست که درست است یا غلط.در حقیقت من این ادعا را در مورُد S در حالت کلی ثابت نکرده ام. و مثال نقضی هم برای ان پیدا نکرده ام.
این ادعا در مورد S را در حالتهای خاص زیادی ثابت کرده ام که یکی از کلی ترین انها چند جمله ای های با خا صیت زیر هستند:
همه چند جمله ای های به صورت x^3+cx^2+dx+e که پس از تغییر متغیر X=Y-c/3 و باز نویسی به شکل
Y^3+pY+q (که p,q بر حسب c,d,e مشخص می شوند.) دا شته باشیم:

که البته اثبات ان با استفاده از فرمول کاردان و انچه در با لا امده است ساده است.