تاپیک مساله ی هفته -سال دوم - همراه با اسامی برندگان

[eh_mn]

سطح ِD

فرض کنید M نقطه ای درون یک n ضلعی منتظم باشد و x_n،...،x_2،x_1 فاصله های M از ضلعها باشند. ثابت کنید:

که a طول ضلع این چند ضلعی است.

نامساوي (1). اين نامساوي به نامساوي ميانگين هارمونيك-ميانگين حسابي معروف است. صورت اصلي اين نامساوي براي اعداد مثبت x_1 ، x_2 ، ... و x_n بصورت زير است

تساوي (2). مي‌دانيم مساحت يك n ضلعي منتظم به ضلع a برابراست با

.

با وصل كردن رئوس n ضلعي منتظم به نقطه M تعداد n مثلث بدست مي‌آيد كه بطور بديهي مجموع مساحت‌هاي آن‌ها با مساحت nضلعي مساوي است. پس

بنابراين

نامساوي (3). مي‌دانيم براي داريم .

[eh_mn]

سطح C

سری زیر را محاسبه کنید:

با محاسبه معلوم مي‌شود كه

بنابراين با استفاده از قاعده تلسكوپي داريم

[mir@]

سطح C

سری زیر را محاسبه کنید:

سطح ِ

D

فرض کنید M نقطه ای درون یک n ضلعی منتظم باشد و x_n،...،x_2،x_1 فاصله های M از ضلعها باشند. ثابت کنید:

که a طول ضلع این چند ضلعی است.

[mofidy1]

با سلام

سطح A

با در دست داشتن معادله ی یک خط و نیز مختصات یک نقطه، مختصات نقطه ای را پیدا کنید که قرینه ی آن نقطه نسبت به خط داده شده، باشد.

=================================

سطح B

با در دست داشتن ارتفاع خارج شده از راس یک مثلث و نیز اندازه ی زاویه ی مربوط به این راس و با معلوم بودن محیط این مثلث، آن را رسم کنید.

=================================

سطح C

اگر خطی در فضا با سه خط مفروض در یک صفحه، زاویه های مساوی بسازد، ثابت کنید این خط بر صفحه عمود است. (خط با این صفحه موازی نیست.)

=================================

سطح ِD

ثابت کنید تنها جوابهای طبیعی معادله ی دیوفانتی زیر برابر است با x=y=z=2

موفق باشید.

14 مرداد 1386

با سلام

سطح A

از دوستان خوبم pp8khat و آقا امیر که حل این مساله را ارسال کردند تشکر می کنم. برای دیدن راه حل pp8khat به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و برای دیدن راه حل آقا امیر به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید. بنده روش زیر را که روش جورج پولیا - ریاضیدان بزرگ معاصر - است، را ترجیح می دهم.

فرض کنید نقطه ی داده شده(A=(a,b باشد و(A'=(p,q قرینه ی این نقطه نسبت به خطی با شیب m و عرض از مبدا n باشد.اگر m=0 با کمی محاسبه می توان دید که (A'=(a,2n-b. حال فرض کنید m مخالف صفر باشد. بنابر این

با حل دستگاه نسبت به p و q خواهیم داشت:

سطح B

امیر آقا دو راه حل برای این مساله ارائه کرده اند. به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید. با تشکر فراوان از ایشان.

سطح C

روش امیر آقا در پست 86 صحیح است. برای مطالعه ی آن [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را کلیک کنید. دو روش دیگر نیز خدمتتان تقدیم می کنم:

روش دوم:

خطی را که با سه خط صفحه زاویه های مساوی می سازد L بنامید. فرض کنید BC و BD و BD پاره خطهایی با طول یکسان در صفحه ی مساله باشند و هر کدام از آنها با یکی از سه خط مساله موازی باشند و A نقطه ای در فضا باشد به طوری که AB موازیL است. لذا

پس A و B به ترتیب روی صفحه هایی قرار دارند که بر CD و DE عمود و آنها را نصف می کنند. بنابر این AB بر این صفحه عمود است.

روش سوم:

سطح D

روش امیر آقا در پست 86 صحیح است. برای مطالعه ی آن [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را کلیک کنید.

موفق باشید.

27 مرداد 1386

[mofidy1]

با سلام

سطح A

دستگاه 4 معادله 4 مجهول زیر را حل کنید (هدف استفاده از راههای میانبر است نه راههای طولانی و خسته کننده)

=================================

سطح B

برد تابع زیر را به دست آورید(سعی کنید استدلالتان بر اساس شکل تابع نباشد):

=================================

سطح C

سری زیر را محاسبه کنید:

=================================

سطح ِD

فرض کنید M نقطه ای درون یک n ضلعی منتظم باشد و x_n،...،x_2،x_1 فاصله های M از ضلعها باشند. ثابت کنید:

که a طول ضلع این چند ضلعی است.

موفق باشید.

19 مرداد 1386

با سلام

سطح A

از pp8khat و aminkarami که مساله را حل کردند تشکر می کنم. برای دیدن راه حل pp8khat به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و برای دیدن راه حل aminkarami به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید.

سطح B

aminkarami در پست 90 مساله را حل کرده اند. اما دقت کنید که در آخرین سطر جواب، زیر علامت اجتماع نوشته اند k عضو Z که باید بنویسند k عضو N. برای مطالعه ی این راه حل [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را کلیک کنید. با تشکر از ایشان. بد نیست شکل این تابع را نیز که با استفاده از Maple رسم شده است، ببینید.

سطح C

جواب سری عدد 2 است. [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را کلیک کنید و راه حل آقا امیر را مطالعه کنید. [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] را نیز ببینید. ایشان جواب 0.2 را به دست آورده اند!

سطح D

روش آقا احسان و امیر آقا هر دو زیبا و کامل است. از هر دو دوست گرامی متشکرم. برای دیدن راه حل آقا احسان به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] و برای دیدن راه حل آقا امیر به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید.

موفق باشید.

27 مرداد 1386

[mofidy1]

با سلام

از دوستان عزیز به ویژه آقا امیر خواهش می کنم هنگام ارسال راه حل مساله ها، آنها را جداگانه در پست های مختلف ارسال کنند نه در یک پست چند مساله!! با این کار هم مطالعه راه حلها آسانتر می شود و هم بنده هنگام لینک دادن به آنها دچار دردسر نمی شوم.

از همه ی دوستان عزیز تشکر می کنم.

[mofidy1]

با سلام

سطح A

در هر یک از n خانه ای که در امتداد خطی راست واقع اند، پسری زندگی می کند. این n پسر باید در چه نقطه ای قرار ملاقات بگذارند تا مجموع مسافتهایی که هر یک از آنها از خانه تا محل ملاقات می پیماید، به حداقل ممکن برسد؟

=================================

سطح B

علی 6 سکه ی سالم و محمد 5 سکه ی سالم پرتاب می کنند. احتمال اینکه علی بیشتر از محمد شیر بیاورد چقدر است؟ این مساله را تعمیم دهید.

=================================

سطح C

فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی هم مرتبه ی متمایز باشند. گزاره ی منطقی زیر را ثابت کنید:

=================================

سطح ِD

اگر A ماتریسی از مرتبه ی n با درایه های حقیقی باشد، ثابت کنید:

با استفاده از مساله ی بالا، ثابت کنید که اگر A و B دو ماتریس از مرتبه ی n با درایه های حقیقی باشند و 0=AB، آنگاه برای هر دو عدد صحیح مثبت p و q داریم:

موفق باشید.

27 مرداد 1386

[پاکر]

با سلام

سطح A

در هر یک از n خانه ای که در امتداد خطی راست واقع اند، پسری زندگی می کند. این n پسر باید در چه نقطه ای قرار ملاقات بگذارند تا مجموع مسافتهایی که هر یک از آنها از خانه تا محل ملاقات می پیماید، به حداقل ممکن برسد؟

بدیهی است که n یک عدد طبیعی است
دو حالت زیر را داریم:
1.n=2k-1 و k متعلق به اعداد طبیعی
الف: در حالت k=1 مساله بدیهی است.
ب: اگر k>0 باشد:
در این صورت برای k=2 سه حالت مختلف داریم یعنی به سه حالت می توان نقطه ملاقات در نظر گرفت که مجموع فاصله پیموده شده به ترتیب زیر است
اگر خانه اول و سوم نقطه مورد نظر باشد 3، اگر خانه دوم باشد 2
پس نقطه ملاقات باید خانه وسط باشد
برای k=3 هم داریم:
خانه اول و پنجم 10 برای خانه دوم و چهارم 7 و برای خانه سوم 6
باز هم نقطه ملاقات باید خانه وسط باشد
و الی آخر...
با تعمیم این موضوع مشخص می شود که نقطه ملاقات در n های فرد خانه وسط است
پس داریم:


2.n=2k و k متعلق به اعداد طبیعی
اگر k=1 باشد یعنی دو خانه وجود دارد و مجموع مسیرهای طی شده باهم یکسان و برابر 1 است.
پس هر دو خانه شرط لازم و کافی برای انتخاب شدن به عنوان نقطه مورد نظر را دارند
برای k=2 داریم:
خانه اول و چهارم 6 برای خانه دوم و سوم 4
برای k=3 هم داریم:
خانه اول و ششم 21 برای خانه دوم و پنجم 16 و برای خانه سوم و چهارم 13
و الی آخر...
با تعمیم این موضوع مشخص می شود که نقطه ملاقات در n های زوج دو خانه ی میانی است
پس داریم:

[eh_mn]

سطح ِD

اگر A ماتریسی از مرتبه ی n با درایه های حقیقی باشد، ثابت کنید:

با استفاده از مساله ی بالا، ثابت کنید که اگر A و B دو ماتریس از مرتبه ی n با درایه های حقیقی باشند و 0=AB، آنگاه برای هر دو عدد صحیح مثبت p و q داریم:

قسمت اول :

تساوي *. عوامل ضرب در سمت چپ تساوي مزدوج يكديگرند و اين از حقيقي بودن درايه‌هاي ماتريس A ناشي شده است.

قسمت دوم :

نامساوي **. بنا به قسمت اول.

[eh_mn]

سطح C

فرض کنید A و B دو ماتریس مربعی هم مرتبه ی متمایز باشند. گزاره ی منطقی زیر را ثابت کنید:

بنا به فرض داريم . اگر حكم برقرار نباشد ماتريس A^2+B^2 معكوس‌پذير است و با ضرب طرفين رابطه اخير در معكوس اين ماتريس داريم A=B كه خلاف فرض است.