تاپیک مساله ی هفته -سال دوم - همراه با اسامی برندگان

[mofidy1]

با سلام

سطح A

تساویهای زیر را در نظر بگیرید:

قانونی کلی برای مثالهای بالا به دست آورید.

=================================

سطح B

از تساوی زیر تابع f را بیابید:

=================================

سطح C

ثابت کنید تابع زیر دقیقاً دو بار محور x ها را قطع می کند:

=================================

سطح ِD

فرض کنید a و b دو عدد حقیقی باشند. تابع زیررا در نظر بگیرید:

فرض کنید مشتق اول و دوم f روی دامنه ی f وجود داشته باشند و مقدار مشتق اول f روی a و b صفر باشد. ثابت کنید عدد c بین a و b چنان موجود است که

موفق باشید.

24 شهریور 1386

[yugioh]

ممنون از لطف آقای مفیدی فعلا اینو می زنم بعدا اگه شد بازم میام.
سوال c:
تابع به وضوح پیوسته است.ابتدا (f(0 را حساب می کنیم f(0)=-1 حالا از عبارت مشتق می گیریم:
f'(x)=2x-xcosx-sinx+sinx=x(2-cosx در نتیجه به ازای xهای مثبتf'(x)>0 وبه ازای X های منفی f'(x)<0 (چون
بخش دیگر مشتق همواره مثبت استcosx<1 پس علامت مشتق فقط به علامت x ربط دارد.)
از طرفی حد تابع در ثبت ومنفی بی نهایت هر دو مثبت بی نهایت است ولی در هر دو بخش دامنه xهای و منفی تابع یکنوا ست. بنابراین وبنا بر پیوستگی تابع وبنابر قضیه مقدار میانی ( از آنجا که حد تابع مثبت بی نهایت است پس به طور قطع تابع درجایی مثبت است مانند x=3 ,x=-3 برای مقدار میانی (نقطه دیگر X=0) استفاده شوند. صعودی بودن تابع در بخش مثبت ونزولی بودن در بخش منفی هم ثابت می کند جواب دیگری نیست.)
در واقع از دو مقدار میانی استفاده کردیم. که یکی از نقاط صفر است.

[p30time]

با سلام

=================================

سطح B

از تساوی زیر تابع f را بیابید:

=================================

با سلام!
آقا اگر فقط خيلي غلط بود يه پيغام خصوصي بزنيد ما ضايع نشيم
ضمنا من اين تابستون هيچي نخوندم ... پس اگر ديديد خيلي اوت مي زنم، شك نكيند به من

ويرايش:
طبقه آخرين اخبار اين راه حل غلطه ... با تشكر از پاكر به خاطر راهنماييش!!

[پاکر]

سطح C

ثابت کنید تابع زیر دقیقاً دو بار محور x ها را قطع می کند:

[mofidy1]

با سلام

سطح A

تساویهای زیر را در نظر بگیرید:

قانونی کلی برای مثالهای بالا به دست آورید.

=================================

سطح B

از تساوی زیر تابع f را بیابید:

=================================

سطح C

ثابت کنید تابع زیر دقیقاً دو بار محور x ها را قطع می کند:

=================================

سطح ِD

فرض کنید a و b دو عدد حقیقی باشند. تابع زیررا در نظر بگیرید:

فرض کنید مشتق اول و دوم f روی دامنه ی f وجود داشته باشند و مقدار مشتق اول f روی a و b صفر باشد. ثابت کنید عدد c بین a و b چنان موجود است که

موفق باشید.

24 شهریور 1386

با سلام

سطح A

قانون کلی تساوی های مذکور در سطح A:

سطح B

در مرحله ی اول، عبارت کسری در داخل اولین پرانتز در سمت راست را y فرض کنید و x را بر حسب y حساب کنید و دو پرانتز دیگر را نیز بر حسب y تغییر دهید.
در مرحله ی دوم، عبارت کسری در داخل پرانتز وسط را y فرض کنید و x را بر حسب y حساب کنید و دو پرانتز دیگر را نیز بر حسب y تغییر دهید.
در مرحله ی سوم، عبارت کسری در داخل سومین پرانتز را y فرض کنید و x را بر حسب y حساب کنید و دو پرانتز دیگر را نیز بر حسب y تغییر دهید.
سه تساوی به دست آمده در سه مرحله ی قبل را با هم جمع کنید و با استفاده از تساوی اصلی مساله، جواب زیر را به دست آورید:

سطح C

از yugioh و پاکر به خاطر پستهایشان تشکر می کنم. yugioh باید توجه کنید که توابع سینوس و کسینوس در بی نهایت دارای حد نیستند. روش آقا پاکر نیز تقریبا درست است اما روش نوشتن ایشان در این مساله کمی غیر استاندارد است. فکر می کنم روش مناسب به صورت زیر باشد:

تابع پیوسته ی f در 90- درجه، مثبت، در صفر درجه، منفی و در 90 درجه مثبت است. بنابر قضیه مقدار میانی، f حداقل دارای دو صفر است. اگر f بیش از دو صفر داشته باشد بنابر قضیه ی مقدار میانگین باید مشتق آن حداقل دارای دو صفر باشد. اما با گرفتن مشتق از f مشخص می شود که مشتق f فقط یک ریشه دارد.

سطح D

برای مطالعه ی راه حل این مساله ی زیبا به لینک زیر مراجعه فرمایید:

[ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

موفق باشید.

30 شهریور1386

[mofidy1]

با سلام

سطح A

بین y، x یا z چه ارتباطی باید باشد تا تساوی زیر برقرار باشد:

=================================

سطح B

در دایره ی زیر O مرکز دایره است و در شکل، سه زاویه ی مساوی وجود دارد که با آلفا مشخص شده اند. آلفا را محاسبه کنید.

=================================

سطح C

فرض کنید g_n تعداد زیر مجموعه هایی از {A={1,2,...,n باشد که حاوی هیچ دو عدد متوالی نیستند. به طور مثال g_2=3. ثابت کنید

که F_n نمایش دنباله ی فیبوناتچی است.

=================================

سطح ِD

فرض کنید G یک گروه متناهی، N زیرگروه نرمال آن و P یک p -زیرگروه سیلوی G باشد به طوری که N زیرگروه نرمالگر P در G است. ثابت کنید اگر p -زیرگروه سیلوی G/N نرمال باشد، P نیز در G نرمال است.

موفق باشید.

31 شهریور 1386

[yugioh]

من اول یه توضیح بدم در مورد سوال Cدفعه قبلی. من نگفتم sinx حد داره . گفتم اون تابع حدش بی نهایته چون حد x^2 حدش بی نهایت هست وsin و cos کراندارند. حالا اگه باز هم اشتباه داره بگین. من فقط از این مساله (حد تابع تو بی نهایت) برای این استفاده کردم که بگک ریشه دیگه ای نیست + حتما تابع یه جا مثبت میشه) . با تشکر.

[yugioh]

سطح A:
دز صورت برقراری تساوی داریم: x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3)
پس: x+y+z)^3-x^3=y^3+z^3)
در نتیجه(چاق ولاغر): (y+z)((x+y+z)^2+(x+y+z).x+x^2)=(y+z)(y^2-yz+z^2)
پس یک جواب y+z)=0) است.( به عبارتی y=-z)
در غیر این صورت: 3x^2+y^2+z^2+3xy+3xz+2yz)=y^2+z^2-yz)
نهایتا داریم: x^2+xy+yz+zx=0
پس: x(x+y)+z(x+y)=0 پس: x+y)(x+z)= 0)
پس دوجواب هم x=-z و x=-y است.

[yugioh]

سطح C:
پایه استقرا:g(1)=F(2)=2 ({} و {1}) و g(2)=F(3)=3 ({}و{1}و{2})
فرض استقرا : در ستی حکم برای (g(n-1),g(n-2
حالا از (f(n-1 به دو نوع (g(n رو می سازیم. اولین بخش واضحه که کل (g(n-1 عضو (g(n هم هست. دوم اون بخش از (g(n-1 که n-1 توشون عضو نیست ( یا به عبارتی (g(n-2) رو بهشون n اضافه می کنیم. پس تا اینجا اولا واضحه که هیچ دو عضوی رو دوبار نشمردیم. چون تمامی مجموعه هایی که دفعه اول شمردیم و اونهایی که نوع دوم شمردیم متفاوت اند ( گروه اول فاقد n و گروه دوم دارای n هستند.) از طرفی خود دو گروه هم که هر عضو را یکبار دارند ( (g(n-1 و (g(n ). از طرفی باید ثابت کنیم همه عضو هارا شمرده ایم. هر عضو (g(n یا دارای n نیست پس یکی از اعضای (g(n-1 است. ( به هر حال نباید دارای دو عضو متوالی باشد.) یا دارای n است. که اگر دارای n باشد فاقد n-1 است که با تو جه به اینکه دو عضو متوالی ندارد بخش دیگر (مجموعه منهای n) عضو (g(n-2 است.
پس نهایتا ما هر عضو (g(n را یک و فقط یکبار شمرده ایم. و با این شمارش داریم: (g(n)=g(n-1)+g(n-2 و با توجه به فرض استقرا حکم ثابت میشود.

[pp8khat]

با سلام

سطح B

در دایره ی زیر O مرکز دایره است و در شکل، سه زاویه ی مساوی وجود دارد که با آلفا مشخص شده اند. آلفا را محاسبه کنید.

موفق باشید.

31 شهریور 1386

حل:
از آنجایی که دو مثلث ABE و ACD در راس A مشترک هستند پس متشابه هستند و طبق قضیه ی برش،مثلث های
مذکور هم ترکیب و درنتیجه مساحتشان یکسان است و از به هم چسباندن آن ها لوزی حاصل می شود که مساحتش دو برابر مساحت یکی از این مثلث ها است.
در نتیجه داریم: