تاپیک مساله ی هفته -سال دوم - همراه با اسامی برندگان

[mofidy1]

با سلام

سطح A

عبارت زیر را به صورت ضرب عوامل تجزیه کنید:

=================================

سطح B

دو دایره در نقطه های A و B متقاطع اند. PQ پاره خطی است که از A می گذرد و دو سرش بر این دو دایره واقع اند. ثابت کنید که تقسیم BP بر BQ همواره عددی ثابت است.

=================================

سطح C

در یک ترم n درس ارائه شده است و تعدادی دانشجو در بعضی از این دروس ثبت نام کرده اند به طوری که در هر دو درس حداکثر یک دانشجو مشترک است. امتحانات این دروس را می توان در k زمان متفاوت برگزار کرد به نحوی که هیچ دانشجویی دارای امتحانات هم زمان نباشد. فرض کنیم هر درس را که حذف کنیم بتوانیم n-1 درس باقی مانده را در k-1 زمان متفاوت برگزار کنیم. حکم زیر را اثبات یا رد کنید:

اگر یکی از دانشجویان که حداقل در دو درس ثبت نام کرده است یکی از درسهای خود را حذف کند باز هم می توان امتحانات را در k-1 زمان متفاوت با شرط فوق تنظیم کرد.

=================================

سطح ِD

فرض کنید p عددی اول و فرد باشد. ثابت کنید برای هر عددی طبیعی n داریم:

موفق باشید.

28 فروردین 1387

[mohammad96]

سطح C

ابتدا قوت یک نقطه نسبت به یک دایره را تعریف می کنیم: نقطه ی P و دایره ای را در صفحه ثابت بگیرید و فرض کنید نقطه های A و B محل تلاقی خط دلخواه گذرنده از P با دایره باشد. حاصل ضرب PA.PB را قوت نقطه ی P نسبت به دایره می نامیم. (می توانید با استفاده از تشابه مثلثها، ثابت کنید که این حاصل ضرب به نقاط A و B بستگی ندارد، یعنی اگر خط گذرنده تغییر کند، حاصل ضرب بالا تغییر نمی کند. )

حال فرض کنید MN قطر دایره ی محل تلاقی کره و صفحه باشد و از نقطه ی P محل تلاقی AB و صفحه می گذرد. قرار می دهیم AP=a و BP=b و MP=x و NP=y. اگر قوت نقطه ی P را نسبت به دایره ی عظیمه ی حاصل از AB و MN بنویسیم، به دست می آوریم xy=ab. می خواهیم با در دست داشتن حاصل ضرب xy، مجموع x+y کمینه باشد. با استفاده از نامساوی حسابی-هندسی نتیجه می گیریم که کمترین مقدار x+y برابر است با دو برابر جذر ab که در این حالت x و y هر دو برابر هستند با جذر ab. پس کره از A و B می گذرد و شامل دایره ای با مرکز P و شعاع جذر ab است.

سلام!
من منظورتون از " دايره عظيمه ي حاصل از AB و MN " رو متوجه نشدم. ممكن توضيح بفرماييد .

با سپاس!

[mofidy1]

سلام!
من منظورتون از " دايره عظيمه ي حاصل از AB و MN " رو متوجه نشدم. ممكن توضيح بفرماييد .

با سپاس!

با سلام

صفحه ای را در نظر بگیرید که از AB و MN بگذرد. محل تلاقی این صفحه با کره، همان دايره عظيمه ي حاصل از AB و MN است.

موفق باشید.

3 خرداد 1387

[mofidy1]

با سلام

سطح A

عبارت زیر را به صورت ضرب عوامل تجزیه کنید:

=================================

سطح B

دو دایره در نقطه های A و B متقاطع اند. PQ پاره خطی است که از A می گذرد و دو سرش بر این دو دایره واقع اند. ثابت کنید که تقسیم BP بر BQ همواره عددی ثابت است.

=================================

سطح C

در یک ترم n درس ارائه شده است و تعدادی دانشجو در بعضی از این دروس ثبت نام کرده اند به طوری که در هر دو درس حداکثر یک دانشجو مشترک است. امتحانات این دروس را می توان در k زمان متفاوت برگزار کرد به نحوی که هیچ دانشجویی دارای امتحانات هم زمان نباشد. فرض کنیم هر درس را که حذف کنیم بتوانیم n-1 درس باقی مانده را در k-1 زمان متفاوت برگزار کنیم. حکم زیر را اثبات یا رد کنید:

اگر یکی از دانشجویان که حداقل در دو درس ثبت نام کرده است یکی از درسهای خود را حذف کند باز هم می توان امتحانات را در k-1 زمان متفاوت با شرط فوق تنظیم کرد.

=================================

سطح ِD

فرض کنید p عددی اول و فرد باشد. ثابت کنید برای هر عددی طبیعی n داریم:

موفق باشید.

28 فروردین 1387

با سلام

سطح A

این عبارت را (f(x,y بنامید. f نسبت به x و y متقارن است و لذا می توان آن را به صورت زیر نوشت:

ابتدا قرار دهید x=y=1 و سپس x=y=-1 و بالاخره قرار دهید x=0 و y=1 . در این صورت به دستگاه زیر خواهید رسید:

با حل این معادله، A و B و C به ترتیب 1و 1و 2 یا 2 و 1 و 2 به دست می آیند. بنابر این

سطح B

وقتی پاره خط PQ تغییر می کند، زوایای BPA و AQB ثابت می مانند، زیرا زاویه های محاطی روبه رو به کمان AB در دو دایره هستند و لذا سینوس این دو زاویه مقداری ثابت است. حال اگر قانون سینوسها در مثلث BPQ را به کار گیریم، مساله حل خواهد شد.

سطح C

گرافی به این صورت می سازیم: به ازای هر درس یک رأس در نظر می گیریم و اگر دو درس دارای دانشجوی مشترک باشند، یک یال بین آنها رسم می کنیم.

به ربان نظریه گراف صورت ایم مساله چنین است: «گراف n رأسی G دارای این ویژگی است که عدد رنگی رأسی آن مساوی k است و اگر هر رأس آن را حذف کنیم، عدد رنگی گراف حاصل، k-1 می شود. آیا این گراف دارای این ویژگی نیز هست که اگر هر یال آن را حذف کنیم، عدد رنگی آن تغییر کند؟» جواب لزوماً مثبت نیست. گراف زیر مثالی بر این مدعاست.

سطح D

با بسط دادن به دست می آوریم:

مخرج این کسر بر p بخش پدیر نیست؛ لذا کسر آخر به تنهایی عددی صحیح است. به علاوه، به پیمانه ی p، صورت کسر با مخرج هم نهشت است، پس این کسر به پیمانه ی p با هم نهشت است که مطلب را نتیجه می دهد.

موفق باشید.

سوم خرداد 1387

[mofidy1]

با سلام

سطح A

در چهار ضلعی زیر، ضلع بالا و پایین را به هفت قسمت مساوی تقسیم و نقاط تقسیم را به یکدیگر وصل می کنیم تا هفت چهار ضلعی کوچک به دست آید. ثابت کنید حداقل یکی از این چهار ضلعی ها ی کوچک، مساحتی برابر با «یک هفتم» مساحت چهار ضلعی بزرگ دارد.

=================================

سطح B

مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع 1 را در نظر بگیرید. اگر پنج نقطه در درون آن انتخاب شوند، ثابت کنید حداقل دو نقطه وجود دارند که فاصله ی آنها، از «یک دوم» کوچکتر است.

=================================

سطح C

ماکسیمم (بیشینه) مساحت مستطیل های محاط در بیضی زیر را بیابید:

=================================

سطح ِD

حد زیر را بیابید:



موفق باشید.

4 خرداد 1387

[soheilsmart]

سطح B

مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع 1 را در نظر بگیرید. اگر پنج نقطه در درون آن انتخاب شوند، ثابت کنید حداقل دو نقطه وجود دارند که فاصله ی آنها، از «یک دوم» کوچکتر است.


وسط اضلاع را مشخص میکنیم و انها را به هم وصل میکنیم
با ین کار 4 مثلث هم نهشت پدید می اید که طول ضلع ان 0.5
است
هر نقطه را درون یک قسمت انتخاب میکنیم
در یک مثلث کوچک(به طول ضلع 0.5 )
حداقل دو نقطه وجود دارد (اصل لانه کبوتری)
اگر شکل را رسم کنیم
معلوم میشود که فاصله این دو نقطه از طول ضلع (0.5 ) کمتر است

ممنون

[mir@]

سطح A

در چهار ضلعی زیر، ضلع بالا و پایین را به هفت قسمت مساوی تقسیم و نقاط تقسیم را به یکدیگر وصل می کنیم تا هفت چهار ضلعی کوچک به دست آید. ثابت کنید حداقل یکی از این چهار ضلعی ها ی کوچک، مساحتی برابر با «یک هفتم» مساحت چهار ضلعی بزرگ دارد.

=================================

نقاط بالايي را به ترتيب A1 تا A8 و نقاط پاييني را B1 تا B8 مي ناميم. مثلث هاي A1B1B2 و A2B2B3 و A3B3B4 تماما قاعده مساوي دارند. و از آنجا كه اضلاع به صورت مساوي تقسيم شده اند‏، ارتفاعاتشان تشكيل يك تصاعد حسابي ميدهد.

بنابراين مساحت مثلث هاي ذكر شده هم تشكيل تصاعد حسابي مي دهند. در يك تصاعد حسابي با تعداد جملات فرد، حتما جمله وسط برابر است با ميانگين تمام جملات. بنابراين:

به همين ترتيب براي مثلث هاي A1A2B2 و A2A3B3 و ... خواهيم داشت:

از جمع دو رابطه بالا به نتيجه مطلوب مي رسيم.

[mir@]

سطح C

ماکسیمم (بیشینه) مساحت مستطیل های محاط در بیضی زیر را بیابید:

=================================

[mir@]

سطح ِD

حد زیر را بیابید:

مي‌دانيم:

عليهذا

[mofidy1]

با سلام

سطح A

در چهار ضلعی زیر، ضلع بالا و پایین را به هفت قسمت مساوی تقسیم و نقاط تقسیم را به یکدیگر وصل می کنیم تا هفت چهار ضلعی کوچک به دست آید. ثابت کنید حداقل یکی از این چهار ضلعی ها ی کوچک، مساحتی برابر با «یک هفتم» مساحت چهار ضلعی بزرگ دارد.

=================================

سطح B

مثلث متساوی الاضلاعی به ضلع 1 را در نظر بگیرید. اگر پنج نقطه در درون آن انتخاب شوند، ثابت کنید حداقل دو نقطه وجود دارند که فاصله ی آنها، از «یک دوم» کوچکتر است.

=================================

سطح C

ماکسیمم (بیشینه) مساحت مستطیل های محاط در بیضی زیر را بیابید:

=================================

سطح ِD

حد زیر را بیابید:



موفق باشید.

4 خرداد 1387

با سلام

سطح A

از راه حل زیبای آقا امیر تشکر می کنم. برای دیدن این راه حل [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه فرمایید.

راه حل دیگری خدمتتان تقدیم می کنم:

به شکل زیر توجه کنید:



داریم:

بنابر این

نیز

بنابر این

در نتیجه

سطح B

از برای soheilsmart راه حلشان تشکر می کنم. برای دیدن راه حل ایشان [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه شود.

سطح C

از آقا امیر برای راه حلشان ممنونم. البته روش نسبتاً ساده ای که از مشتق استفاده نمی کند وجود دارد، که به آن نمی پردازیم. برای مطالعه ی روش ایشان [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید.

سطح D

روش امیر آقا کاملاً درست است. [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید.

موفق باشید.

1 تیر 1387