تاپیک مساله ی هفته -سال دوم - همراه با اسامی برندگان

[mofidy1]

با سلام

سطح A

آیا عدد 124 بزرگتر است یا عدد زیر؟ (از ماشین حساب استفاده نکنید.)

=================================

سطح B

ثابت کنید میانه های یک مثلث هم رس اند. (راه حلی غیر از راه حل کتاب هندسه ی 2 ی رشته ی ریاضی ارائه کنید.)

=================================

سطح C

ثابت کنید هر عدد اول فرد، تفاضل مربعات دو عدد طبیعی است و این دو عدد یکتا هستند. (به طور مثال عدد 7 تفاضل مربعات دو عدد 4 و 3 است و اعداد دیگری غیر از این دو در خاصیت ذکر شده، صدق نمی کنند.)

=================================

سطح ِD

شرط همگرایی سری تابعی زیر را به دست آورید و حد آن را محاسبه کنید:

موفق باشید.

1 تیر 1387

[sherlockholmz]

سطح C

ثابت کنید هر عدد اول فرد، تفاضل مربعات دو عدد طبیعی است و این دو عدد یکتا هستند. (به طور مثال عدد 7 تفاضل مربعات دو عدد 4 و 3 است و اعداد دیگری غیر از این دو در خاصیت ذکر شده، صدق نمی کنند.)

[shape]

سطح B

ثابت کنید میانه های یک مثلث هم رس اند.

فرض کنید M,N,S اوساط AB,AC,BC از مثلث ABC باشند . همچنین اضلاع جرمی ندارند ولی راس های A,B,C جرم 1 Kg دارند
چون S گرانیگاه BC است میتوان BوC را حذف کرد و به S جرم 2Kgرا نسبت داد. پس گرانیگاه روی میانه AS قرار دارد و چون جرم
Sدو برابر A است گرانیگاه AS را به نسبت 1:2 تقسیم میکند.به طریق مشابه گرانیگاه روی دو میانه دیگر قرار دارد و انها را به نسبت 1:2 تقسیم می کند.

[shape]

سطح ِD

اولا قرار دهید y=3x
اولا باید دشته باشیم


پس y در بازه ی(1و-1) قرار دارد حال با توجه به سری هندسی و مشتق های ان داریم

[shape]

سطح A

به راحتی میتوان نشان داد برای عدد h و x که x-h>1 داریم

با قرار دادن x=16 و h=1,2 داریم


با ضرب کردن در 29 و4 داریم

[shape]

سطح C

در باره جواب sherlockholmz اطمینان ندارم که درسته
اولا مشخصه p=2a+1=(a+1)^2-a^2
و اگر( p=b^2-a^2=(b-a)(b+a
b-a=1و p l b+a و b+a l p
پس b=a+1 ,p=a2+1 که مشخصه a یکتاست

[shape]

اقای مفیدی چرا از وقتی من اومدم شما رفتی؟
ما فعلا منتظر 4 تا سوال دیگه هستیم

[mofidy1]

با سلام

سطح A

آیا عدد 124 بزرگتر است یا عدد زیر؟ (از ماشین حساب استفاده نکنید.)

=================================

سطح B

ثابت کنید میانه های یک مثلث هم رس اند. (راه حلی غیر از راه حل کتاب هندسه ی 2 ی رشته ی ریاضی ارائه کنید.)

=================================

سطح C

ثابت کنید هر عدد اول فرد، تفاضل مربعات دو عدد طبیعی است و این دو عدد یکتا هستند. (به طور مثال عدد 7 تفاضل مربعات دو عدد 4 و 3 است و اعداد دیگری غیر از این دو در خاصیت ذکر شده، صدق نمی کنند.)

=================================

سطح ِD

شرط همگرایی سری تابعی زیر را به دست آورید و حد آن را محاسبه کنید:

موفق باشید.

1 تیر 1387

با سلام

سطح A

از عضو جدید و پرکار انجمن ریاضیات shape برای حل این مسائل ممنونم. کاملاً درست است؛ عدد 124 بزرگتر است. برای دیدن راه حل ایشان [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه کنید. البته راه حل دیگری نیز وجود دارد. فرض کنید یکی از این دو بزرگتر باشد. جمله ای که جذر عدد 15 را دارد، به یک طرف منتقل کنید و طرفین را به توان 2 برسانید و ساده کنید. یک بار دیگر همه ی جملات بدون رادیکال را به طرف دیگر منتقل کنید و طرفین را به توان 2 برسانید و ساده کنید. با این کار به 0>1 یا 1>0 می رسید.

سطح B

shape در [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] روشی جالب با استفاده از مفاهیم فیزیکی ارائه داده اند؛ اما «ما ریاضی خوان های متعصب»!! فقط روش های کاملاً ریاضی را قبول داریم.

این قضیه، نتیجه ی بلافاصله ی قضیه ی معروف «سوا» (Ceva theorem) است. این قضیه بیان می کند که اگر نقاط X و Y و Z به ترتیب روی اضلاع BC و AC و AB قرار داشته باشند، شرط لازم و کافی برای آن که AX و BY و CZ (که به خطوط سوایی معروف اند) هم رس باشند، آن است کهAZ*BX*CY=ZB*XC*YA. اثبات این قضیه بسیار ساده و بر اساس فرمول مساحت مثلث و برهان خلف است.

حال چون میانه ها به وضوح در رابطه ی ضربی بالا صدق می کنند، بنابر این، سه میانه هم رس هستند.

برای توضیحات کلی تر درباره ی قضیه ی سوا، به لینک زیر مراجعه کنید:

en.wikipedia.org/wiki/Ceva_theorem

سطح C

از shape و sherlockholmz و zahedy2006 که روی مساله کار کردند، ممنونم. روش مناسب حل این مساله را خدمتتان عرض می کنم:

اولاً به راحتی می توان دید که:

ثانیاً اگر

چون p اول است باید x-y=1 و x+y=p. لذا

سطح D

روش shape کاملاً درست است. با تشکر از ایشان. برای دیدن راه حل shape به [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ] مراجعه فرمایید.

موفق باشید.

23 تیر 1387

[zahedy2006]

ساير سطوح جواب نداشت؟؟

سطح C
بايد ثابت كنيم هر عدد فرد اول را مي توان به صورت a2-b2 نوشت. چون a2-b2=a-b * a+b ژس اگر a-b برابر يك باشند (واضح است كه عدد اول دو عامل بزرگتر از يك ندارد!!) يعني دو عدد متوالي باشند پس a+b چون يكي زوج و ديگري فرد است حتما فرد است و هر عدد اول را فرد را مي توان اينگونه نوشت. يعني مجموع يك فرد و يك زوج

براي اثبات يكتايي نيز مي توان با استفاده از شرط متوالي بودن مساله را بررسي كرد.
فرض كنيم a,b و c,d كه اعداد متوالي اند جوابهاي ما باشند. چون حاصل جمع هاي آنها (كه همان عدد اول ماست) تنها در صورتي برابر مي شود كه هر دو زوج يكي باشند پس جواب يكتاست.

سطح d
با استفاده از قضيه لايبنيتز در صورت حد گيري خواهيم داشت :
3/1>x و x>-1/3 (نمي شد درست بنويسم. بين يك سوم و منفي يك سوم)

[mofidy1]

با سلام

سطح A

فرض کنید:

در این صورت را بیابید.

=================================

سطح B

فرض کنید:

در این صورت می توان دید که

که(f'(x مشتق f است و (f''(x با دو بار مشتق گرفتن از f به دست می آید. ثابت کنید f تنها چند جمله ای است که در تساوی (f(2x)=f'(x)f''(x صدق می کند.

=================================

سطح C

ثابت کنید که اگر تابع های f و g همه جا مشتق پذیر باشند و برای هر x در شرط زیر صدق کنند، آن گاه بین هر دو ریشه ی f ریشه ای از g وجود دارد:

=================================

سطح ِD

مجموع سری زیر را به دست آورید:

موفق باشید.

21 تیر 1387