تاپیک مساله ی هفته -سال دوم - همراه با اسامی برندگان

[pp8khat]

Modify1 جان چرا سوالاتو رو نمی کنی؟
خداییش تا حالا 4 بار به تاپیکت سرزدم...
خیلی مشتاقم ببینم سوال این دفعه چه جوریه!

[mofidy1]

با سلام

سطح A

در مثلث ABC رابطه ی زیر برقرار است. سه زاویه A، B و C چند درجه هستند؟

=================================

سطح B

فرض کنید M مرکز یک دایره و A و B دو نقطه روی دایره باشند که دو سر قطری از آن نیستند. مماسهایی که در A و B بر دایره رسم می شوند یکدیگر را در C قطع می کنند. فرض کنید CM دایره را در D قطع کند و مماس بر دایره در نقطه ی AC ،D و BC را به ترتیب در E وF قطع کند. ثابت کنید مساحت چهارضلعی ADBM میانگین هندسی مساحت مثلث ABM و مساحت چهارضلعی ACBM است.

=================================

سطح C

تعداد سه تایی های مرتب (x,y,z) را که x، y و z اعداد طبیعی هستند و در رابطه ی x+y+z=17 صدق می کنند، به دست آورید. اگر این سه عدد دو به دو متمایز باشند، تعداد این سه تایی های مرتب چقدر است؟

=================================

سطح ِD

فرض کنید

حد زیر را محاسبه کنید:

موفق باشید.

16 تیر 1386

[mir@]

جناب مفیدی به نظرم اون قسمت بولد شده باید اصلاح بشه:

فرض کنید M مرکز یک دایره و A و B دو نقطه روی دایره باشند که دو سر قطری از آن نیستند. مماسهایی که در A و B بر دایره رسم می شوند یکدیگر را در C قطع می کنند. فرض کنید Cm دایره را در D قطع کند و مماس بر دایره در نقطه ی D، Ac و Bc را به ترتیب در E وf قطع کند. ثابت کنید مساحت چهارضلعی Adbm میانگین هندسی مساحت مثلث Abm و مساحت چهارضلعی Acbm است.

[mofidy1]

با سلام

امیر آقا از تذکر تون ممنونم. تصحیح شد.

[eh_mn]

سطح ِD

فرض کنید

حد زیر را محاسبه کنید:

با سلام.

به روش استقرا مي‌توان نشان داد كه براي هر n ، ، بنابراين دنباله از نقاط بازه موجود است بطوريكه . پس

چون تابع cos بر بازه يك‌به‌يك است پس ؛ و در نتيجه

لذا

[mir@]

سطح B

فرض کنید M مرکز یک دایره و A و B دو نقطه روی دایره باشند که دو سر قطری از آن نیستند. مماسهایی که در A و B بر دایره رسم می شوند یکدیگر را در C قطع می کنند. فرض کنید CM دایره را در D قطع کند و مماس بر دایره در نقطه ی AC ،D و BC را به ترتیب در E وF قطع کند. ثابت کنید مساحت چهارضلعی ADBM میانگین هندسی مساحت مثلث ABM و مساحت چهارضلعی ACBM است.

با توجه به شکل زیر:

نقطه تقاطع AB و MC را G می نامیم. سپس از تقاطع مثلث های MAC و MAG خواهیم داشت:

MA/MC=MG/MA

و از آنجائیکه MD=MA (هر دو شعاع هستند)

MD/MC=MG/MD

اگر صورت و مخرج طرفین را در AG درضرب کنیم:

(MD×AG)/(MC×AG) = (MG×AG)/(MD×AG).ز
MD×AG = 2×AMD = ADBM
MC×AG = 2×AMC = ACBM
MG×AG = 2×AMG = ABM

بنابراین:

ABM × ACBM = ADBM^2

▲

[mir@]

سطح A

در مثلث ABC رابطه ی زیر برقرار است. سه زاویه A، B و C چند درجه هستند؟

اگر sin(C)=1 و A=B آنگاه خواهیم داشت: cos^2(A)+sin^2(A)=1

در نتیجه C=90 و A=B=45

نمیدونم حالا راه حل تحلیلی بهتری داره یا نه.

[mofidy1]

اگر sin(C)=1 و A=B آنگاه خواهیم داشت: cos^2(A)+sin^2(A)=1

در نتیجه C=90 و A=B=45

نمیدونم حالا راه حل تحلیلی بهتری داره یا نه.

با سلام

دوست عزیز سعی کنید، عکس این مطلب رو ثابت کنید. یعنی ثابت کنید اگر تساوی مذکور برقرار باشد، آنگاه باید مثلث ما قائم الزاویه ی متساوی الساقین باشد.

موفق باشید.

17 تیر 1386

[mir@]

سطح C

تعداد سه تایی های مرتب (x,y,z) را که x، y و z اعداد طبیعی هستند و در رابطه ی x+y+z=17 صدق می کنند، به دست آورید. اگر این سه عدد دو به دو متمایز باشند، تعداد این سه تایی های مرتب چقدر است؟

از آنجایی که x، y و z همه باید اعداد مثبت باشند که مجموعشان 17 شود، لذا هریک حداکثر می تواند مقدار 15 را اختیار کند.

حالا کمی احتمالات ممکن را در نظر بگیریم.

اگر x=15 باشد، آنگاه ناگزیر y=z=1 پس فقط یک حالت داریم.
اگر x=14 باشد، آنگاه ناگزیر y=2و z=1 یا y=1و z=2 پس دو حالت داریم.
اگر x=13 باشد، آنگاه ناگزیر y=3و z=1 یا y=1و z=3 و y=z=2 پس سه حالت داریم.
...............
..........
....
اگر x=1 آنگاه 15 حالت خواهیم داشت.

با توجه به الگوی بالا دیده می شود که تعداد کل حالات برابر است با مجموع اعداد 1 تا 15 که برابر است با 120.

☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺ ☻☺

و اما یک استدلال من در آوردی (!) برای تشخیص تعداد حالاتی کاملاً متمایز:

از آنجا که 17 بر 3 تقسیم نمی شود، پس حالت تساوی هر سه عضو سه تایی مرتب وجود ندارد.

پس فقط می ماند حالتی که دو عضو یکسانند و عضو سوم متفاوت.

اما، اگر دو عضو بخواهد یکسان باشد (مجموع دو عدد یکسان حتماً زوج خواهد بود) ، پس اگر عدد سوم بخواهد با آنها جمع شود و مجموع 17 شود، حتماً این عدد سوم باید فرد باشد.

حالا چندتا عدد فرد از 1 تا 15 داریم؟! بعـــله 8 تا.
پس 8 تا سه تایی مرتب که یک عضو عددی است فرد و دو عضو دیگر یکسان،

اما ...... عجله نکنیم! باید تمام جایگشت های ممکن را در نظر بگیریم. یعنی در هر سه تایی مرتب که یک عدد فرد خاص را دارد، این عدد فرد می تواند در سه جایگاه قرار بگیرد. پس برای هریک از 8 عدد فرد، 3 سه تایی مرتب داریم که دوتا اعداد یکسان و عضو سوم عددی است فرد.

در نهایت 8×3=24 سه تایی مرتب داریم که دو عضو یکسان دارند.

لذا کلاً 120-24=96 سه تایی مرتب داریم از اعداد طبیعی که مجموع اعضا 17 شده و هیچ عضو دو یکسانی ندارند.

والسلام علیکم و رحمة الله

پی نوشت: نتایج بالا توسط یک برنامه MATLAB کوچولو تایید شد.

[mir@]

با سلام

سطح A

در مثلث ABC رابطه ی زیر برقرار است. سه زاویه A، B و C چند درجه هستند؟

[center]

از آنجا که A+B+C=180 آنگاه C=180-A-B و sin(C)=sin(A+B)C و در نتیجه عبارت صورت سوال به صورت زیر در می آید.

cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)sin(A+B)=1

تعریف میکنیم:

f(A,B)= cos(A)cos(B)+sin(A)sin(B)sin(A+B) C

میخواهیم نشان دهیم بزرگترین مقدار ممکن برای f برابر است با یک.
مشتق میگیریم نسبت به دو متغیرو مساوی صفر قرار میدهیم:

C∂f/∂A=-sinA×cosB + cosA×sinB×sin(A+B) + sinA×cosB×cos(A+B)=0

C∂f/∂B=-cosA×sinB + sinA×cosB×sin(A+B) + sinA×cosB×cos(A+B)=0

با تفاضل دو عبارت بالا و ساده سازی خواهیم داشت:

sin(A-B) × [1 + sin(A+B)] = 0

که نتیجه می¬دهد A=B و با گذاشتن در یکی از دو معادله مشتق نتیجه می دهد:

sin(2A) + cos(2A) = 1

که پس از حل آن A=B=45 و C=90.