اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

**skyzare** · 21-04-2012, 08:59

با سلام .

اساتید فرض کنید یه ماتریس A داریم و بردارهای ویژه اش و مقادیر ویژه اش رو به دست اوردیم . مثلا مثل زیر :

الان ستون های Eigenvector در واقع بردارهای ویژه ماتریس A هستند و ستون ها Eigenvalue هم مقادیر ویژه ماتریس A هستند . ( البته فقط همون عدد غیر صفرش )

ولی این بردار های ویژه یه صورت یکامتعامد هست به نظرتون چه جوری میشه فهمید اون بردار

اصلی چی بوده که بعد از یکامتعامد این جوری شده ؟

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

**mf79292** · 21-04-2012, 19:01

سلام لطفا یکی بگه مشتق مرتبه دوم y نسبت به x در معادله پارامتری زیر چی میشه؟ خیر ببینین...

x=t^2
y=t ln t

**skyzare** · 21-04-2012, 19:33

نوشته شده توسط mf79292 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام لطفا یکی بگه مشتق مرتبه دوم y نسبت به x در معادله پارامتری زیر چی میشه؟ خیر ببینین...

x=t^2
y=t ln t

با سلام .

$\\y'=\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{ln(t)+1}{2t}\\\\\\ y''=\frac{d^{\: 2}y}{dx^2}=\frac{d(y\: ')}{d(x)}=\frac{dy\: '}{dt}\times \frac{dt}{dx}=\frac{\frac{dy'}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\\\\\\ \frac{dy'}{dt}=\frac{-ln(t)}{2t^2}\\\\\\ \frac{dx}{dt}=2t$

$y''=\frac{-ln(t)}{4t^3}$

===========================================

روش کلی اینه حالا محاسبات رو خودتون چک کنید .

پ . ن : لزومی نداره یه سوال رو چند جا بپرسید . باور کنید یه جا بپرسید هم کاربر ها می بینند .

**قاهر - Gahir** · 22-04-2012, 08:49

سلام بر دوستان گرامی؛

کسی اثبات استقرائی برای:
اگر $x_{i}$ ها اعداد حقیقی مثبتی از 1 تا n و $0<P_{1}\leqslant P_{2}$ باشد، آنگاه :

$\mathbf{(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{P_{2}})^{\frac{1}{P_{2}}}\leqslant (\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{P_{1}})^{\frac{1}{P_{1}}}}$

سراغ داره ؟
من خودم از یه روش برای اثبات k+1 امین جمله‌ش پیش رفتم ولی به نتیجه‌ی مورد نظر نرسیدم ... یعنی نتونستم جواب رو ازش بکشم بیرون ...
اگه دوست دارید روشم اینه :
به ترتیب به طرف چپ $x_{k+1}^{P_{2}}$ و به طرف راست $x_{k+1}^{P_{1}}$ رو کم و زیاد میکنیم.

اثبات غیر استقرائیش آسونه ...

**davy jones** · 22-04-2012, 10:49

نوشته شده توسط قاهر - Gahir [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

سلام بر دوستان گرامی؛

کسی اثبات استقرائی برای:
اگر $x_{i}$ ها اعداد حقیقی مثبتی از 1 تا n و $0<P_{1}\leqslant P_{2}$ باشد، آنگاه :

$\mathbf{(\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{P_{2}})^{\frac{1}{P_{2}}}\leqslant (\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{P_{1}})^{\frac{1}{P_{1}}}}$

سراغ داره ؟
من خودم از یه روش برای اثبات k+1 امین جمله‌ش پیش رفتم ولی به نتیجه‌ی مورد نظر نرسیدم ... یعنی نتونستم جواب رو ازش بکشم بیرون ...
اگه دوست دارید روشم اینه :
به ترتیب به طرف چپ $x_{k+1}^{P_{2}}$ و به طرف راست $x_{k+1}^{P_{1}}$ رو کم و زیاد میکنیم.

اثبات غیر استقرائیش آسونه ...

$(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}})^{\frac{1}{p_{1}}}\geq (\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}})^{\frac{1}{p_{2}}}\Rightarrow [(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}})^{\frac{1}{p_{1}}}]^{p_{1}p_{2}}\geq [(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}})^{\frac{1}{p_{2}}}]^{p_{1}p_{2}}\Rightarrow (\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}})^{p_{2}}\geq (\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}})^{p_{1}}$

$n\rightarrow n+1\; \Rightarrow (\sum_{k=1}^{n+1}x_{k}^{p_{1}})^{p_{2}}\geq (\sum_{k=1}^{n+1}x_{k}^{p_{2}})^{p_{1}}\Rightarrow (\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}}+x_{n+1}^{p_{1}})^{p_{2}}\geq (\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}}+x_{n+1}^{p_{2}})^{p_{1}}\Rightarrow \sum_{j=0}^{p_{2}}\binom{p_{2}}{j}(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}})^{p_{2}-j}(x_{n+1}^{p_{1}})^{j}\geq \sum_{j=0}^{p_{1}}\binom{p_{1}}{j}(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}})^{p_{1}-j}(x_{n+1}^{p_{2}})^{j}$

به ازای j=0 به حالت فرض استقرامون یعنی حالتی که n رو به n+1 ارتقا نداده بودیم میرسیم که فرض کردیم همواره برقراره. پس میتونیم سری رو از جمله ی بعدیش شروع کنیم:

$\Rightarrow \sum_{j=1}^{p_{2}}\binom{p_{2}}{j}(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{1}})^{p_{2}-j}(x_{n+1}^{p_{1}})^{j}\geq \sum_{j=1}^{p_{1}}\binom{p_{1}}{j}(\sum_{k=1}^{n}x_{k}^{p_{2}})^{p_{1}-j}(x_{n+1}^{p_{2}})^{j}$

که ظاهرا اثبات آخری آسون به نظر نمیاد

مغزم دیگه هنگ کرد راستیاتش.

یعنی واقعا اینقدر سخته از راه استقرا بخوایم بریم؟

موفق باشین.
91/2/3

**ali_hp** · 22-04-2012, 13:15

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام .

بی نهایت سپاس گذار از بابت پاسخ گویی شما .

ببخشید مگه برای فضای برداری پایه هاش منحصر به فرد نیست ؟ اخه این جوری که

شما گفتید مثل این که پایه های یک فضا مثلا فضای پوچ می تونه منحصر به فرد نباشه . اصلا پایه های فضا

منحصر به فرد هست ؟

=========================================

ویرایش :

در واقع منظورم این هست که مثلا توی این مثال پایینی که شما زدید خوب بعد فضای نول 2 هست حالا منهر دو برداری رو که توی این رابطه زیر صدق کنه می تونم به عنوان بردارهای پایه فضای نول در نظر بگیرم ؟ ( البته با این فرض که اون دو بردار شرایط پایه بودن که مستقل خطی باشه و فضای مربوطه رو اسپن کنه داشته باشه )

بله ، میتونیم!کلا لزومی بر منحصر به فرد بودن پایه وجود نداره.مثلا در این مساله هر دو بردار غیر هم راستا که در صفحه x+y+z=0
در نظر بگیریم یک پایه برای فضای پوچ میشه.
در یک فضای دلخواه برای ساختن پایه میشه اینجوری عمل کرد:
با یک مجموعه از k بردار مستقل خطی شروع می کنیم.این مجموعه خود زیرفضایی k بعدی از فضای اصلی را تولید می کند.
اگر این زیر فضای تولید شده برابر کل فضا باشد که خودش پایه است و کار تمام است!
اگر هم کل فضا را تولید نکند ، یک بردار خارج از زیر فضای تولید شده در نظر می گیریم و به مجموعه مورد نظر اضافه می کنیم.مجموعه جدید نیز مستقل خطی است(چرا؟) و زیر فضایی k+1 بعدی تولید می کند.
اگر بعد فضای اصلیمون متناهی باشه ، و مثلا n باشه ، دیگه وقتی به n بردار مستقل خطی رسیدیم قطعا زیر فضای تولید شده توسط این n بردار کل فضا میشه و یک پایه بدست اوردیم.
مثلا در فضای دکارتی سه بعدی و حالت k=1 :
با یک تک بردار ناصفر شروع می کنیم.(یک مجموعه تک عضوی مستقل خطی)
زیر فضای تولید شده توسط این تک بردار یعنی یک خط!و برداری خارج از این زیر فضا یعنی هر بردار غیر هم راستا با ان.پس یک بردار غیر هم راستا به ان اضافه میکنیم.و به مجموعهای از دو بردار مستقل خطی می رسیم.زیر فضای تولید شده توسط این دو بردار یعنی یک صفحه(صفحه ای که از این دو بردار می گذرد.)
و در نهایت با در نظر گرفتن یک بردار خارج از این صفحه و اضافه کردن ان ، به یک پایه می رسیم.
با این شهود مشخصه که در فضاهای طبیعی چقدر پایه زیاد داریم!

**ali_hp** · 22-04-2012, 13:54

نوشته شده توسط skyzare [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

با سلام .

اساتید فرض کنید یه ماتریس A داریم و بردارهای ویژه اش و مقادیر ویژه اش رو به دست اوردیم . مثلا مثل زیر :

الان ستون های Eigenvector در واقع بردارهای ویژه ماتریس A هستند و ستون ها Eigenvalue هم مقادیر ویژه ماتریس A هستند . ( البته فقط همون عدد غیر صفرش )

ولی این بردار های ویژه یه صورت یکامتعامد هست به نظرتون چه جوری میشه فهمید اون بردار

اصلی چی بوده که بعد از یکامتعامد این جوری شده ؟

کد:

برای مشاهده محتوا ، لطفا وارد شوید یا ثبت نام کنید

کدوم بردار اصلی منظورتونه؟
برای هر مقدار ویژه مجموعه همه بردارهای ویژه متناظرش ، یک زیر فضای برداری میسازن.که به این زیر فضا ، فضای ویژه گفته میشه.اینجا فضای ویژه متناظر با مقدار ویژه یک ، دو بعدی هست.و فضای ویژه متناظر با 3 ، یک بعدی.
اومده دو بردار ویژه از فضای ویژه متناظر 1 گرفته که یکه و عمودن . و یک بردار ویژه هم از فضای ویژه 3 گرفته که یکه باشه. که اتفاقا عمود بر دو تای قبلی هم هست....و البته ممکن بود نشه این بردار ویژه اخرو جوری گرفت که بر دو تای قبلی هم عمود باشه...

**mojtaba2321** · 22-04-2012, 19:25

بچه ها یه مشکل خیلی پیش پاافتاده من دارم
اونم اینه که هنوز علامت بزرگتر کوچکتر رو قاطی میکنم

یه روش خوب برای یا خاطر سپردن این علامت وجود داره؟ مث همون دهن ماهی که قبلا میگفتن

**abcd20** · 22-04-2012, 19:51

نوشته شده توسط mojtaba2321 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بچه ها یه مشکل خیلی پیش پاافتاده من دارم
اونم اینه که هنوز علامت بزرگتر کوچکتر رو قاطی میکنم

یه روش خوب برای یا خاطر سپردن این علامت وجود داره؟ مث همون دهن ماهی که قبلا میگفتن

کوچیک یا بزرگی بستگی داره شما از کدام طرف بخونی .

مثلا

3 > 2

شما اگه از سمت راست بخونید میشه :

3 بزرگتر از 2

اگه از سمت چب بخونید میشه :

2 کوچیکتر از 3

در واقع به این بستگی داره که از کدام طرف بخونید

**Reza31001** · 22-04-2012, 20:07

نوشته شده توسط mojtaba2321 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

بچه ها یه مشکل خیلی پیش پاافتاده من دارم
اونم اینه که هنوز علامت بزرگتر کوچکتر رو قاطی میکنم

یه روش خوب برای یا خاطر سپردن این علامت وجود داره؟ مث همون دهن ماهی که قبلا میگفتن

نوشته شده توسط abcd20 [ برای مشاهده لینک ، با نام کاربری خود وارد شوید یا ثبت نام کنید ]

کوچیک یا بزرگی بستگی داره شما از کدام طرف بخونی .

مثلا

3 > 2

شما اگه از سمت راست بخونید میشه :

3 بزرگتر از 2

اگه از سمت چب بخونید میشه :

2 کوچیکتر از 3

در واقع به این بستگی داره که از کدام طرف بخونید

و چون ریاضیات از چپ خونده میشه، > علامت کوچکتر از خواهد بود
کافیه همین مثال 3>2 رو حفظ کنی دیگه تا اخر عمر قاطی نمیکنی

نام تاپيک: اتاق ریاضیات(طرح سؤالات)

اختيارات تاپيک

بردار های ویژه به صورت یکامتعامد و یافتن اولیه آن

3 کاربر از skyzare بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

2 کاربر از davy jones بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

این کاربر از ali_hp بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

2 کاربر از abcd20 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده اند

این کاربر از Reza31001 بخاطر این مطلب مفید تشکر کرده است

Thread Information

Users Browsing this Thread

User Tag List

قوانين ايجاد تاپيک در انجمن