اثبات گنگ بودن رادیکال 3

**alirezanas** · 25-03-2013, 19:56

یا عرض سلام خدمت ریاضیدانان

اگه میشه اثبات کنید رادیکال سه عددی گنگ است

***M!L4D*** · 25-03-2013, 20:13

سلام
برهان خلف :
فرض میکنیم رادیکال 3 عددی گویاست و به فرم :
$\sqrt{3 } = \frac{a}{b}$
قابل نمایش هست . که a و b اعدادی صحیح و نسبت به هم اول هستند . طرفین رو به توان میرسونیم . نتیجه میشه :
$a^2 = 3b^2$
با توجه به صحیح بودن a و b نتیجه میگیریم که a مضرب 3 هست . یعنی a=3k
$9k^2 = 3b^2 \rightarrow b^2=3k^2\rightarrow b=3n$
پس b هم مضرب 3 هست و یعنی ب.م.م a و b حداقل 3 هست که نسبت به هم اول نیستند و فرض خلف باطل و رادیکال 3 گنگ است .

نام تاپيک: اثبات گنگ بودن رادیکال 3

اختيارات تاپيک